電磁ポテンシャル（ベクトルポテンシャル\(\vec{A}(\vec{x},t)\)とスカラーポテンシャル\(\phi(\vec{x},t)\)）には以下に示す自由度があることを示せ。
任意の関数\(\chi(\vec{x},t)\)について
\[\begin{align}
\vec{A}_{\rm L}(\vec{x},t) &= \vec{A}(\vec{x},t) + {\rm grad}\chi(\vec{x},t) \\
\phi_{\rm L}(\vec{x},t) &= \phi(\vec{x},t) – \frac{\partial}{\partial t} \chi(\vec{x},t)
\end{align}\]
なる変換をしても、電場\(\vec{E}(\vec{x},t)\)、磁場\(\vec{B}(\vec{x},t)\)は変わらない。
特に
\[
\left(\Delta – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \chi(\vec{x},t) =
– {\rm div} \vec{A}(\vec{x},t) – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi(\vec{x},t)
\]
を満たす\(\chi(\vec{x},t)\)をとると
\[
{\rm div} \vec{A}_{\rm L}(\vec{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi_{\rm L}(\vec{x},t) = 0
\]
を満たす。これをローレンツゲージ(Lorentz Gauge)における電磁ポテンシャルという。
\[\begin{align}
\vec{B}(\vec{x},t) &= {\rm rot} \vec{A}_{\rm L}(\vec{x},t) \\
&= {\rm rot}\vec{A}(\vec{x},t) + {\rm rot}\ {\rm grad} \chi(\vec{x},t) \\
&= {\rm rot}\vec{A}(\vec{x},t) \\
\vec{E}(\vec{x},t) &= – \frac{\partial \vec{A}_{\rm L}(\vec{x},t)}{\partial t} – {\rm grad} \phi_{\rm L}(\vec{x},t) \\
&= – \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} – \frac{\partial}{\partial t} {\rm grad} \chi(\vec{x},t) – {\rm grad} \phi(\vec{x},t) + {\rm grad}\frac{\partial}{\partial t} \chi(\vec{x},t) \\
&= – \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} – {\rm grad}\phi(\vec{x},t)
\end{align}\]
となり、同じ電磁場が得られる。ここで以前の記事の結果を用いた。
さらに、\(\chi(\vec{x},t)\)が
\[
\left(\Delta – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi(\vec{x},t) = – {\rm div}\vec{A}(\vec{x},t) – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi(\vec{x},t)
\]
を満たすとすると
\[\begin{align}
{\rm div}\vec{A}_{\rm L}(\vec{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi_{\rm L}(\vec{x},t) &=
{\rm div}\vec{A}(\vec{x},t) + {\rm div}\ {\rm grad} \chi(\vec{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi(\vec{x},t) – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\chi(\vec{x},t) \\
&= {\rm div}\vec{A}(\vec{x},t) + \Delta \chi(\vec{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi(\vec{x},t) – \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\chi(\vec{x},t) \\
&= 0
\end{align}\]
を満たす。ここで
\[
{\rm div}\ {\rm grad}\chi(\vec{x},t) = \Delta \chi(\vec{x},t)
\]
を用いた。
