Poisson方程式のGreen関数

Fourier 変換を行うと見通しが良くなる。
すなわち
\begin{align}
G(\vec{r}) &= \int_{-\infty}^{+\infty} G(\vec{k}) {\rm e}^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} {\rm d} \vec{k} \\
\delta^{3}(\vec{r}) &= \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{- \infty}^{+\infty} {\rm e}^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} {\rm d} \vec{k}
\end{align}
の各々を解を求めるべき微分方程式に代入すると
\begin{align}
– k^2 G(\vec{k}) &= – \frac{1}{(2 \pi)^3} \\
G(\vec{k}) &= \frac{k^2}{(2 \pi)^3}
\end{align}
が得られる。ここに、$|\vec{k}| = k$ とした。

これより、
\begin{align}
G(\vec{r}) &= \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{{\rm e}^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}}{k^2} {\rm d} \vec{k}
\end{align}
この $\vec{k}$ による積分は $\vec{k}$ 方向を極軸とする極座標をとることにより、$r = |\vec{r}|$ とするとき
\begin{align}
\vec{k}\cdot\vec{r} &= k r \cos\theta
\end{align}
となることから
\begin{align}
G(\vec{r}) &= \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_0^{\infty} {\rm d} k \int_0^{\pi} {\rm d} \theta \int_0^{2 \pi} {\rm d} \phi\ k^2 \sin\theta \frac{{\rm e}^{i k r \cos\theta}}{k^2} \\
&= \frac{1}{(2 \pi)^2} \int_0^{\infty} \frac{2 i \sin(k r)}{i k r} {\rm d} k \\
&= \frac{2}{(2 \pi)^2} \frac{1}{r} \int_0^{\infty} \frac{\sin \zeta}{\zeta} {\rm d} \zeta
\end{align}
となる。ここで $\zeta = k r$ とおいた。

最後の式の定積分は
\begin{align}
\int_0^{\infty} \frac{\sin \zeta}{\zeta} {\rm d} \zeta &= \frac{\pi}{2}
\end{align}
であるので、結局
\begin{align}
G(\vec{r}) &= \frac{1}{4 \pi} \frac{1}{r}
\end{align}
と得られる。

これにより、得られる方程式は
\begin{align}
\Delta \left(\frac{1}{r}\right) &= – 4 \pi \delta^3(\vec{r})
\end{align}
という、原点に電荷を置いた時の Coulomb ポテンシャルを表していることに注意して欲しい。