次の電場\(\vec{E}(\vec{x},t)\)と磁場\(\vec{B}(\vec{x},t)\)についての関係式が同値であることを示せ。
\[\begin{align}
{\rm div}\vec{B}(\vec{x},t) = 0 &,\ {\rm rot}\vec{E}(\vec{x},t) + \frac{\partial \vec{B}(\vec{x},t)}{\partial t} = \vec{0} \\
& \Leftrightarrow \\
\vec{B}(\vec{x},t) = {\rm rot}\vec{A}(\vec{x},t) &,\ \vec{E}(\vec{x},t) = – \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} – {\rm grad} \phi(\vec{x},t) \\
&\mbox{を満たす\(\vec{A}(\vec{x},t), \phi(\vec{x},t)\)が存在する}
\end{align}\]
このような\(\vec{A}(\vec{x},t)\)をベクトルポテンシャル、\(\phi(\vec{x},t)\)をスカラーポテンシャルと言い、2つを合わせて電磁ポテンシャルと言う。
\[\begin{align}
\vec{B}(\vec{x},t) &= {\rm rot} \vec{A}(\vec{x},t) \\
\vec{E}(\vec{x},t) &= – \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} – {\rm grad}\phi(\vec{x},t)
\end{align}\]
とすると、
\[\begin{align}
{\rm div} \vec{B}(\vec{x},t) &= {\rm div}\ {\rm rot} \vec{A}(\vec{x},t) = 0 \\
{\rm rot} \vec{E}(\vec{x},t) + \frac{\partial \vec{B}(\vec{x},t)}{\partial t} &= {\rm rot}\left(- \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} – {\rm grad}\phi(\vec{x},t) + \frac{\partial}{\partial t}{\rm rot} \vec{A}(\vec{x},t) \right) \\
&= – {\rm rot}\ {\rm grad}\phi(\vec{x},t) = 0
\end{align}\]
が示される。ここに、以前の記事の結果を使った。
\((\Rightarrow)\)
\[
{\rm div}\vec{B}(\vec{x},t) = 0
\]
から、あるベクトル場\(\vec{A}(\vec{x},t)\)が存在して
\[
\vec{B}(\vec{x},t) = {\rm rot}\vec{A}(\vec{x},t)
\]
を満たすことが、以前の記事の結果から言える。
さらに、この結果を用いて
\[
{\rm rot}\vec{E}(\vec{x},t) + \frac{\partial \vec{B}(\vec{x},t)}{\partial t} = \vec{0}
\]
から
\[
{\rm rot}\left(\vec{E}(\vec{x},t) + \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t}\right) = \vec{0}
\]
となるが、ここでも以前の記事の結果から、あるスカラー場\(\phi(\vec{x},t)\)が存在して
\[
\vec{E}(\vec{x},t) + \frac{\partial \vec{A}(\vec{x},t)}{\partial t} = – {\rm grad}\phi(\vec{x},t)
\]
を満たすことが言える。
従って、題意が示された。
