次の３つのベクトルは線型独立かどうか判定せよ。
(1)
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix},\
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-2 \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
(2)
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2 \\
\end{bmatrix},\
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
(3)
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{bmatrix},\
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
2 \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
(3)
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
-2 \\
\end{bmatrix},\
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
-2 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-1 \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
(1)
\begin{eqnarray}
\begin{array}{|ccc|}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -2 \\
\end{array} =
\begin{array}{|ccc|}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -3 & -3 \\
\end{array} = 0
\end{eqnarray}
従って、線形従属である。
(2)
\begin{eqnarray}
\begin{array}{|ccc|}
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & -1 \\
\end{array} =
\begin{array}{|ccc|}
-1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & -1 \\
\end{array} = 3
\end{eqnarray}
従って、線形独立である。
(3)
\begin{eqnarray}
\begin{array}{|ccc|}
1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2 \\
\end{array} =
\begin{array}{|ccc|}
1 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 1 \\
3 & -4 & 2 \\
\end{array} = 2
\end{eqnarray}
従って、線形独立である。
(4)
\begin{eqnarray}
\begin{array}{|ccc|}
2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-2 & -2 & -1 \\
\end{array} =
\begin{array}{|ccc|}
2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
-2 & -1 & -1 \\
\end{array} = 0
\end{eqnarray}
従って、線形従属である。
