ガウス積分｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$\begin{aligned} f (x) & = {(\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t)}^{2} \\ g (x) & = \int_{0}^{1} \frac{e^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t^{2}} d t \end{aligned}$
とする。この時、以下の問いに答えよ。

(1) $f (x) + g (x)$ は定数となることを示せ。

(2) $lim_{x \to \infty} f (x)$ を求めよ。

以上の事から、ガウス積分の値が
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$
と分かる。

(1)

f (x) + g (x)

の

x

による微分を考えると

\begin{aligned} f^{'} (x) + g^{'} (x) & = 2 \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t \cdot e^{- x^{2}} - 2 x \int_{0}^{1} (1 + t^{2}) \frac{e^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t^{2}} d t \\ = 2 e^{- x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t - 2 x e^{- x^{2}} \int_{0}^{1} e^{- (x t)^{2}} d t \\ = 2 e^{- x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t - 2 e^{- x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- s^{2}} d s \\ = 0 \end{aligned}

となる。ここで

s = x t

なる変数変換を行った。
従って、

f (x) + g (x)

は定数であることが分かるので、特に

x = 0

として

\begin{aligned} f (x) + g (x) & = f (0) + g (0) \\ = 0 + \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t^{2}} d t \\ = {[\tan^{- 1} t]}_{0}^{1} \\ = \frac{π}{4} \end{aligned}

と求まる。

(2) 今、 $x \to \infty$ とすると $g (x) \to 0$ に注意すると
$\begin{aligned} lim_{x \to \infty} (f (x) + g (x)) & = lim_{x \to \infty} f (x) \\ = {(\int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t)}^{2} \end{aligned}$
一方で、(1)より、この値は $\frac{π}{4}$ であると分かっているので
$\begin{aligned} lim_{x \to \infty} f (x) & = \frac{π}{4} \\ {(\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2} & = \frac{π}{4} \end{aligned}$
と求まる。