三角形\(ABC\)の辺\(BC, CA, AB\)上にそれぞれ点\(P, Q, R\)をとる。線分\(AP, BQ, CR\)が一点で交わる時
\[
\frac{PB}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1
\]
が成り立つことをベクトルを用いて示せ。（チェバの定理）
\[
\frac{BP}{PC} = \frac{s (1 – t)}{t (1 – s)}
\]
と変形出来る。
ここで、\(\overrightarrow{AX}\)をパラメータ\(u, v\)を用いて
\[\begin{align}
\overrightarrow{AX} &= u \overrightarrow{AB} + (1 – u) s \overrightarrow{AC} \\
\overrightarrow{AX} &= v \overrightarrow{AC} + (1 – v) t \overrightarrow{AB}
\end{align}\]
と2つの方法で表すことが出来る。\(\overrightarrow{AB}\)と\(\overrightarrow{AC}\)の係数を比較して、\(u, v\)の連立方程式と見て、\(u\)について解くと
\[
u = \frac{t (1 – s)}{1 – st}
\]
と求まる。すなわち、
\[
\overrightarrow{AX} = \frac{t (1 – s)}{1 – st} \overrightarrow{AB} + \frac{s (1 – t)}{1 – st} \overrightarrow{AC}
\]
が得られる。これは、まさに
\[
\frac{BP}{PC} = \frac{s (1 – t)}{t (1 – s)}
\]
なる関係が成り立つことを意味しており、題意が示された。
