反射律の誤った導出

(a)
全ての $x\in S$ に対して $x\sim y$ となる $y\in S$ が存在するとは限らない。

(b)
整数 $x,y\in \mathbb{Z}$ に対して、$x,y$ がともに２の倍数の場合に
$$\begin{array}{r}x\sim y\end{array}$$
なる関係を満たすとする。

このとき、明らかに、対称律 $x\sim y$ ならば $y\sim x$ を満たす。
また、推移律 $x\sim y$ かつ $y\sim z$ ならば、$x\sim z$ も満たす。

しかし、$x$ が奇数のとき、$x\sim x$ とはならないので、反射律は満たさない。