複素数を成分とする $n$ 次正方行列全体を $M_n(\mathbb{C})$ とする。
$A, B \in M_n(\mathbb{C})$ に対して、関係 $A \sim B$ を、正則な $n$ 次複素正方行列 $P$ が存在して、$B = P^{-1} A P$ となるときに定める。
(a) ここで定めた関係 $\sim$ は $M_n(\mathbb{C})$ の同値関係を定めることを示せ。
(b) 行列の標準化（Jordan 標準形)は $A \in M_n(\mathbb{C})$ の関係 $\sim$ に関する同値類の代表元としてどのようなものが取れると主張しているか？
また、商集合 $M_n(\mathbb{C})/\sim$ は有限集合であるか？
(a)
問題文で定めた関係 $\sim$ が同値関係であることを示すために、反射律、対称律、推移律が成り立つことを示す。
先ずは、反射律については、$P$ として、$n$ 次の単位行列 $E_n$ を取れば、任意の $A \in M_n(\mathbb{C})$ に対して
\begin{align}
A &= E_n^{-1} A E_n
\end{align}
が成り立つので、$A \sim A$ となり、反射律が成り立つ。
次に、対称律を示す。$A, B \in M_n(\mathbb{C})$ について、$A \sim B$ が成り立つとすると、ある正則な $n$ 次複素正方行列が存在して
\begin{align}
B &= P^{-1} A P
\end{align}
が成り立つ。これより
\begin{align}
A &= P B P^{-1} \\
&= (P^{-1})^{-1} B P^{-1}
\end{align}
が成り立ち、$P^{-1}$ はもちろん正則な $n$ 次複素正方行列であるので対称律も成り立つ。
最後に推移律が成り立つことを示す。$A, B, C \in M_n(\mathbb{C})$ に対して、$A \sim B$ かつ $B \sim C$ が成り立つとする。このとき、正則な $n$ 次複素正方行列 $P_1, P_2$ が存在して
\begin{align}
B &= P_1^{-1} A P_1 \\
C &= P_2^{-1} B P_2
\end{align}
が成り立つ。これより
\begin{align}
C &= P_2^{-1} P_1^{-1} A P_1 P_2 \\
&= (P_1 P_2)^{-1} A (P_1 P_2)
\end{align}
が成り立ち、$(P_1 P_2)$ はもちろん正則な $n$ 次複素正方行列であるので、$A \sim C$ が成り立ち、推移律も成り立つ。
以上より、題意が示された。
(b) Jordan 標準形は任意の複素成分の $n$ 次正方行列に対して、ある正則行列 $P$ が存在し、$P^{-1} A P = J$ とすることが出来る。という主張である。ここに $J$ は Jordan ブロックを対角に並べた行列(Jordan 標準形)である。
すなわち、問題文で定義された関係 $\sim$ に関する代表元として、Jordan ブロックを対角に並べたものを取ることが出来る。
このとき、商集合 $M_n/\sim$ は Jordan ブロックの対角成分は任意の複素数を取ることが出来るので、有限集合ではなく、無限集合となる。
