実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、演算 $\oplus$ を
\begin{align}
x \oplus y \equiv {\rm min}\{x, y\}\ (x, y \in \mathbb{R})
\end{align}
で定義する。
このとき、演算 $\oplus$ は結合則と交換則を満たすことを示せ。
また、演算 $\oplus$ に関する単位元は存在しないことを示せ。
$x \oplus y$ は、定義より $x, y$ のうち小さい方(正確には、$x = y$ の場合、小さい方は存在しないので、「大きくない方」と表現するほうが適切だが、便宜上「小さい方」と表現する。）であるので、明らかに交換則
\begin{align}
x \oplus y = y \oplus x
\end{align}
を満たす。
また、結合則
\begin{align}
(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)
\end{align}
に関しても、両辺ともに、$x, y, z$ のうち一番「小さい」ものとなるので、交換則を満たす。
また、この演算 $\oplus$ に単位元 $e$ が存在すると仮定する。
このとき、任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して
\begin{align}
x \oplus e &= e \oplus x = x
\end{align}
となるが、$x = e + 1 \in \mathbb{R}$ と取れば
\begin{align}
x \oplus e &= {\rm min}\{e + 1, e\} \\
&= e \neq x
\end{align}
となり、先の式に矛盾する。従って、この演算 $\oplus$ に関する単位元は存在しない。
