二つの慣性系\(S, S’\)を考え、慣性系\(S\)に対して、もう一方の慣性系\(S’\)が速度\(\overrightarrow{V} = (V_x, V_y, V_z)\)で動いているとき、慣性系\(S\)における座標\(\vec{x}\)と慣性系\(S’\)における座標\(\vec{x}’\)の間には、以下の関係が成立する。
ここで、\(\vec{x} = {}^{\rm T}(x^0, x^1, x^2, x^3) = {}^{\rm T}(ct, x, y, z)\)とし、\(\vec{x}’\)も同様に「\({}’\)」を付けて表す。
\[
x’^{i} = \Lambda^{i}_{\ \ j}\ x^{j}
\]
ここに
\[
\left(\Lambda^{i}_{\ \ j}\right) =
\left(
\begin{array}{cccc}
\gamma & – \gamma \frac{V_x}{c} & – \gamma \frac{V_y}{c} & – \gamma \frac{V_z}{c} \\
– \gamma \frac{V_x}{c} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_x^2}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_x V_y}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_x V_z}{V^2} \\
– \gamma \frac{V_y}{c} & (\gamma – 1) \frac{V_y V_x}{V^2} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_y^2}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_y V_z}{V^2} \\
– \gamma \frac{V_z}{c} & (\gamma – 1) \frac{V_z V_x}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_z V_y}{V^2} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_z^2}{V^2} \\
\end{array}
\right)
\]
と定義され、\(c\)は光速、\(\gamma, V\)は
\[\begin{align}
\gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{V^2}{c^2}}} \\
V &= |\overrightarrow{V}|
\end{align}\]
とする。
これを、ローレンツ(Lorentz)変換という。
このとき、逆に\(\vec{x}\)を\(\vec{x}’\)で表す行列を求めよ。
\(\vec{x}\)を\(\vec{x}’\)で表す行列は\(\Lambda\)の逆行列\(\Lambda^{-1}\)を求めれば良いが、これは物理的に考えると、\(\Lambda\)において\(\overrightarrow{V}\)を\(- \overrightarrow{V}\)としたものに等しいと考えられる。
実際に
\[
\Lambda(-\overrightarrow{V}) =
\left(
\begin{array}{cccc}
\gamma & \gamma \frac{V_x}{c} & \gamma \frac{V_y}{c} & \gamma \frac{V_z}{c} \\
\gamma \frac{V_x}{c} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_x^2}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_x V_y}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_x V_z}{V^2} \\
\gamma \frac{V_y}{c} & (\gamma – 1) \frac{V_y V_x}{V^2} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_y^2}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_y V_z}{V^2} \\
\gamma \frac{V_z}{c} & (\gamma – 1) \frac{V_z V_x}{V^2} & (\gamma – 1) \frac{V_z V_y}{V^2} & 1 + (\gamma – 1) \frac{V_z^2}{V^2} \\
\end{array}
\right)
\]
として
\[
\Lambda \Lambda(-\overrightarrow{V})
\]
を計算すると
\[\begin{align}
\left(\Lambda \Lambda(-\overrightarrow{V})\right)^{0}_{\ \ 0} &=
\gamma^2 – \gamma^2 \frac{V_x^2}{c^2} – \gamma \frac{V_y^2}{c^2} – \gamma \frac{V_z^2}{c^2} = \gamma\left(1 – \frac{V^2}{c^2}\right) = 1 \\
\left(\Lambda \Lambda(-\overrightarrow{V})\right)^{0}_{\ \ 1} &= \gamma^2 \frac{V_x}{c} – \gamma \frac{V_x}{c} \left(1 + (\gamma – 1)\frac{V_x^2}{V^2}\right) – \gamma \frac{V_y}{c} (\gamma – 1) \frac{V_y V_x}{V^2} – \gamma \frac{V_z}{c}(\gamma – 1)\frac{V_y V_x}{V^2} = 0 \\
\left(\Lambda \Lambda(-\overrightarrow{V})\right)^{1}_{\ \ 1} &=
– \gamma^2 \frac{V_x^2}{c^2} + \left(1 + (\gamma – 1)\frac{V_x^2}{V^2}\right)^2 + \left((\gamma – 1)\frac{V_y V_x}{V^2}\right)^2 + \left((\gamma – 1) \frac{V_z V_x}{V^2}\right)^2 = 1 \\
\left(\Lambda \Lambda(-\overrightarrow{V})\right)^{1}_{\ \ 2} &=
– \gamma^2 \frac{V_x V_y}{c^2} + \left(1 + (\gamma – 1)\frac{V_x^2}{V^2}\right)(\gamma – 1)\frac{V_x V_y}{V^2} + (\gamma – 1)\frac{V_x V_y}{V^2}\left(1 + (\gamma – 1)\frac{V_y^2}{V^2}\right) \\
&\ \ \ \ \ + (\gamma – 1)\frac{V_x V_z}{V^2} (\gamma – 1) \frac{V_z V_y}{V^2} = 0
\end{align}\]
となり、他の成分も同様の計算で\(\Lambda(-\overrightarrow{V})\)が\(\Lambda\)の逆行列であることが分かる。
物理的な状況を考えれば、もっともらしい結果であり、実際に計算しても示すことが出来る。
