Pauli行列の性質3(816)特殊相対性理論
$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ を各々 Pauli 行列とし、それらを成分として持つ $\vec{\sigma}$ を
\begin{eqnarray}
\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)
\end{eqnarray}
で定義する。この時、3 次元のベクトル $\vec{A}, \vec{B}$ に対して
\begin{eqnarray}
(\vec{\sigma} \cdot \vec{A}) (\vec{\sigma} \cdot \vec{B}) = (\vec{A} \cdot \vec{B}) + i \vec{\sigma} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})
\end{eqnarray}
が成り立つことを示せ。
便宜上、ベクトルの成分を、$x, y, z$ の代わりに $1, 2, 3$ と各々書くことにする。
Einstein の縮約を使えば
\begin{eqnarray}
(\vec{\sigma} \cdot \vec{A}) (\vec{\sigma} \cdot \vec{B}) &=&
\sigma_k \sigma_l A_k B_l \\
&=& \left[\frac{1}{2}(\sigma_k \sigma_l + \sigma_l \sigma_k) + \frac{1}{2}(\sigma_k \sigma_l – \sigma_l \sigma_k)\right] A_k B_l
\end{eqnarray}
と書けるが、Pauli 行列が次の性質を持つことに注意すれば
\begin{eqnarray}
[\sigma_k, \sigma_l] &=& 2 \delta_{k, l} \sigma_0 \\
\{\sigma_k, \sigma_l\} &=& 2 i \epsilon_{k, l, m} \sigma_m
\end{eqnarray}
上式は
\begin{eqnarray}
(\vec{\sigma} \cdot \vec{A}) (\vec{\sigma} \cdot \vec{B}) &=&
\left[\delta_{k, l} + i \epsilon_{k, l, m} \sigma_m \right] A_k B_l \\
&=& (\vec{A} \cdot \vec{B}) + i \vec{\sigma} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})
\end{eqnarray}
と書けることが分かる。
ここに、$[\cdot, \cdot]$ は反交換関係、$\{\cdot, \cdot\}$ は交換関係を表す。
