Poisson方程式のGreen関数｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

Poisson 方程式の Green 関数、すなわち
$\begin{aligned} Δ G (\vec{r}) & = - δ^{3} (\vec{r}) \end{aligned}$
の解を求めよ。

Fourier 変換を行うと見通しが良くなる。
すなわち

\begin{aligned} G (\vec{r}) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} G (\vec{k}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k} \\ δ^{3} (\vec{r}) & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k} \end{aligned}

の各々を解を求めるべき微分方程式に代入すると

\begin{aligned} - k^{2} G (\vec{k}) & = - \frac{1}{(2 π)^{3}} \\ G (\vec{k}) & = \frac{k^{2}}{(2 π)^{3}} \end{aligned}

が得られる。ここに、

| \vec{k} | = k

とした。

これより、
$\begin{aligned} G (\vec{r}) & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}}{k^{2}} d \vec{k} \end{aligned}$
この $\vec{k}$ による積分は $\vec{k}$ 方向を極軸とする極座標をとることにより、 $r = | \vec{r} |$ とするとき
$\begin{aligned} \vec{k} \cdot \vec{r} & = k r \cos θ \end{aligned}$
となることから
$\begin{aligned} G (\vec{r}) & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} d k \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ k^{2} \sin θ \frac{e^{i k r \cos θ}}{k^{2}} \\ = \frac{1}{(2 π)^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{2 i \sin (k r)}{i k r} d k \\ = \frac{2}{(2 π)^{2}} \frac{1}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin ζ}{ζ} d ζ \end{aligned}$
となる。ここで $ζ = k r$ とおいた。

最後の式の定積分は
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin ζ}{ζ} d ζ & = \frac{π}{2} \end{aligned}$
であるので、結局
$\begin{aligned} G (\vec{r}) & = \frac{1}{4 π} \frac{1}{r} \end{aligned}$
と得られる。