真空中を伝わる電磁波

先ず、任意のベクトル場 $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$ について
$$\begin{array}{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{A}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{A}–\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}\end{array}$$
が成り立つ事に注意する。この証明は以前の記事を参照のこと。（様々な微分演算子に関する公式)

式(3) の両辺の $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$ を取って、この関係式を使えば
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{B}–\mathrm{\Delta }\overrightarrow{B}& =& –{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overrightarrow{B}\\ \left(\mathrm{\Delta }–{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\right)\overrightarrow{B}& =& \overrightarrow{0}\cdots (5)\end{array}$$
が成り立つ。ここで、式(2)と式(4)を使った。

同様にして、式(4)の $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$ を取れば
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{E}+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}& =& \overrightarrow{0}\\ \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}–\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}+{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overrightarrow{E}& =& \overrightarrow{0}\\ \left(\mathrm{\Delta }–{ϵ}_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}& =& \overrightarrow{0}\cdots (6)\end{array}$$
が導かれる。ここで、式(1)と式(3)を使った。

ここで、電場と磁場を $\overrightarrow{k}$ 方向に振動数 $\omega$ で進む平面波だとすると
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)& =& {\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]\cdots (7)\\ \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)& =& {\overrightarrow{B}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]\cdots (8)\end{array}$$
と書ける。ここで、${\overrightarrow{E}}_0\equiv (E_{0x},E_{0y},E_{0z}),{\overrightarrow{B}}_0\equiv (B_{0x},B_{0y},B_{0z})$ とする。

さらに、式(7) を式(6) に代入することにより
$$\begin{array}{rcl}\left(\mathrm{\Delta }–{ϵ}_0{\mu }_o\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\right){\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& \overrightarrow{0}\\ \left(|\overrightarrow{k}{|}^2–{ϵ}_0{\mu }_0{\omega }^2\right){\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& \overrightarrow{0}\end{array}$$
が成り立つ。ここに、$|\overrightarrow{k}{|}^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2$ である。
この式が任意の場所 $\overrightarrow{r}$ と任意の時間 $t$ で成り立たなくてはならないので
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{|k}{|}^2–{ϵ}_0{\mu }_0{\omega }^2& =& 0\\ \frac{\omega }{|\overrightarrow{k}|}& =& \frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}\end{array}$$
が成り立つ。ここで、左辺は式(7)で表される電場の速さであるので、真空中であれば、光速 $c$ に等しいことが分かる。すなわち
$$\begin{array}{r}c=\frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}\end{array}$$
が成り立つ。

式(8)を式(5)に代入することにより、全く同様の計算で
$$\begin{array}{rcl}\left(|\overrightarrow{k}{|}^2–{ϵ}_0{\mu }_0{\omega }^2\right){\overrightarrow{B}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& \overrightarrow{0}\end{array}$$
が得られる。これは、磁場 $\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)$ も電場と同じ光速 $c$ で進むことを示している。

式(7)を式(1)に代入すれば
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}{\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& 0\\ \frac{\partial }{\partial x}{E}_{0x}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]+\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& 0\end{array}$$
が得られ、これは
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{E}}_0& =& 0\end{array}$$
を意味するので、$\overrightarrow{k}$ と $\overrightarrow{E}$ の内積が $0$ であるので、$\overrightarrow{k}$ と $\overrightarrow{E}$ は直交することが分かる。すなわち、電場 $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)$ は横波である。

全く同様の計算を、式(8)と式(2)に対して行えば
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{B}}_0& =& 0\end{array}$$
が得られるので、$\overrightarrow{k}$ と $\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)$ も直交することが分かる。すなわち、磁場 $\overrightarrow{B}$ も横波である。

式(7)と式(8)を式(3)に代入すれば
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}{\overrightarrow{B}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]& =& {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{E}}_0\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[i(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}–\omega t)]\end{array}$$
となり、
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{B}}_0& =& –\omega {ϵ}_0{\mu }_0{\overrightarrow{E}}_0\end{array}$$
が得られる。

従って、${\overrightarrow{E}}_0$ と ${\overrightarrow{B}}_0$ も互いに直交することが分かる。