ガウス(Gauss)の法則(磁場)｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則に依れば、位置 $\vec{y}$ における電流密度 $\vec{i} (\vec{y})$ によって作られる位置 $\vec{x}$ での磁場 $\vec{B} (\vec{x})$ は次の表式で求められる。
$\vec{B} (\vec{x}) = \frac{μ}{4 π} \int_{V} \frac{\vec{i} (\vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}} d \vec{y}$
このとき、磁場に関するガウス(Gauss)の法則
$d i v \vec{B} (\vec{x}) = 0$
を示せ。

先ず

r o t (\frac{\vec{i} (\vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |}) = \frac{\vec{i} (\vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}}

を示す。ここに微分演算子

r o t

は

\vec{x}

に作用するとする。

$\begin{aligned} {r o t (\frac{\vec{i} (\vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |})}_{x_{i}} & = ϵ_{i j k} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \frac{(\vec{i} (\vec{y}))_{x_{k}}}{| \vec{x} - \vec{y} |} \\ = ϵ_{i j k} (\vec{i} (\vec{y}))_{x_{k}} \frac{- (\vec{x} - \vec{y})_{x_{j}}}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}} \\ = ϵ_{i k j} (\vec{i} (\vec{y}))_{x_{k}} \frac{(\vec{x} - \vec{y})_{x_{j}}}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}} \\ = {\frac{\vec{i} (\vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}}}_{x_{i}} \end{aligned}$
ここで、Einsteinの縮約、および、Levi-Civitaの記号を用いた。（参照）

従って
$\begin{aligned} d i v \vec{B} (\vec{x}) & = \frac{μ}{4 π} d i v \int_{V} \frac{\vec{i} (\vec{y}) \times (\vec{x} - \vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |^{3}} d \vec{y} \\ = \frac{μ}{4 π} \int_{V} d i v r o t (\frac{\vec{i} (\vec{y})}{| \vec{x} - \vec{y} |}) \\ = 0 \end{aligned}$
と示される。ここで任意のベクトル場 $\vec{A} (\vec{x})$ について $d i v r o t \vec{A} (\vec{x}) = 0$ を用いた。（参照）