ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則に依れば、位置\(\vec{y}\)における電流密度\(\vec{i}(\vec{y})\)によって作られる位置\(\vec{x}\)での磁場\(\vec{B}(\vec{x})\)は次の表式で求められる。
\[
\vec{B}(\vec{x}) = \frac{\mu}{4 \pi} \int_{V} \frac{\vec{i}(\vec{y}) \times (\vec{x} – \vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|^3} {\rm d} \vec{y}
\]
このとき、磁場に関するガウス(Gauss)の法則
\[
{\rm div}\ \vec{B}(\vec{x}) = 0
\]
を示せ。
\[
{\rm rot}\left(\frac{\vec{i}(\vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|}\right) = \frac{\vec{i}(\vec{y}) \times (\vec{x} – \vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|^3}
\]
を示す。ここに微分演算子\({\rm rot}\)は\(\vec{x}\)に作用するとする。
\[\begin{align}
\left\{{\rm rot}\left(\frac{\vec{i}(\vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|}\right) \right\}_{x_i} &=
\epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{(\vec{i}(\vec{y}))_{x_k}}{|\vec{x} – \vec{y}|} \\
&= \epsilon_{ijk} (\vec{i}(\vec{y}))_{x_k} \frac{- (\vec{x} – \vec{y})_{x_j}}{|\vec{x} – \vec{y}|^3} \\
&= \epsilon_{ikj} (\vec{i}(\vec{y}))_{x_k} \frac{(\vec{x} – \vec{y})_{x_j}}{|\vec{x} – \vec{y}|^3} \\
&= \left\{\frac{\vec{i}(\vec{y}) \times (\vec{x} – \vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|^3}\right\}_{x_i}
\end{align}\]
ここで、Einsteinの縮約、および、Levi-Civitaの記号を用いた。（参照）
従って
\[\begin{align}
{\rm div}\ \vec{B}(\vec{x}) &= \frac{\mu}{4 \pi} {\rm div}\ \int_{V} \frac{\vec{i}(\vec{y}) \times (\vec{x} – \vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|^3} {\rm d}\vec{y} \\
&= \frac{\mu}{4 \pi} \int_{V} {\rm div}\ {\rm rot} \left(\frac{\vec{i}(\vec{y})}{|\vec{x} – \vec{y}|}\right) \\
&= 0
\end{align}\]
と示される。ここで任意のベクトル場\(\vec{A}(\vec{x})\)について\({\rm div}\ {\rm rot}\ \vec{A}(\vec{x}) = 0\)を用いた。（参照）
微分演算子\({\rm div}, {\rm rot}\)がどの座標に関するものかを正しく意識する必要がある。
