Cauchy-Schwarz(コーシー-シュワルツ)の不等式｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$2 n$ 個の実数、 $a_{i}, b_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。
この不等式は、Cauchy-Schwarz(コーシー=シュワルツ)の不等式と呼ばれている。
$\begin{array}{r} {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) \end{array}$
ここで、等号成立は、 $a_{1} : a_{2} : \dots : a_{n} = b_{1} : b_{2} : \dots : b_{n}$ が成り立つ時である。

次の関数

f (x)

を考える。

\begin{array}{r} f (x) = \sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} x - b_{i})}^{2} \end{array}

$f (x)$ は、全ての $i$ に対して $a_{i} = 0$ でない限り $x$ についての２次関数となる。
全ての $i$ に対して $a_{i} = 0$ となる時には、明らかに不等式が等しいことが分かるので、少なくとも1つの $a_{i}$ について $0$ ではないとする。

明らかに、 $f (x) \geq 0$ であるので、この２次式の判別式は $0$ 以下である。
従って
$\begin{array}{rcl} f (x) & = & (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) x^{2} - 2 (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}) x + (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) \end{array}$
の判別式を考えると
$\begin{array}{r} {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i})}^{2} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) \leq 0 \end{array}$
となり、求める不等式が得られる。等号成立は、全ての $i$ について $a_{i} x - b_{i} = 0$ なる時であるので、等号成立条件も得られる。