逆正弦関数の積分｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

次の問いに答えなさい。ただし、 $\arcsin x$ (逆正弦関数)は $- \frac{π}{2}$ 以上 $\frac{π}{2}$ 以下の値をとるものとします。

(1) 次の不定積分を求めなさい。
$\int \arcsin 2 x d x$

(2) $x y$ 平面上のグラフ $y = \arcsin 2 x (- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2})$ と $x$ 軸、および2直線 $x = - \frac{1}{2}, x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ で囲まれた面積を求めなさい。

(1) まずは、簡単のために

\int \arcsin x d x

の不定積分を求める。部分積分を1回することにより

\begin{aligned} \int \arcsin x d x & = x \arcsin x - \int x {(\arcsin x)}^{'} d x \\ = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + C \\ = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C^{'} \end{aligned}

となる。ここに

C, C^{'}

は積分定数である。

したがって、
$\begin{aligned} \int \arcsin 2 x d x & = \frac{1}{2} \arcsin 2 x d 2 x \\ = \frac{1}{2} (2 x \arcsin 2 x + \sqrt{1 - (2 x)^{2}} + C ” \\ = x \arcsin 2 x + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2} + C ” \end{aligned}$
ここに $C ”$ は積分定数である。

(2) $\arcsin 2 x$ のグラフは $x \leq 0$ において0以下の値を取り、 $x \geq 0$ において0以上の値を取る事に注意して、求める面積は
$\begin{aligned} - \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \arcsin 2 x d x + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \arcsin 2 x d x \\ = - {[x \arcsin 2 x + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}]}_{- \frac{1}{2}}^{0} \\ + {[x \arcsin 2 x + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}]}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \\ = - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) \arcsin (- 1) + \frac{\sqrt{3}}{4} \arcsin (\sqrt{3} / 2) + \frac{\sqrt{1 - 4 (\sqrt{3} / 4)^{2}}}{2} - \frac{1}{2} \\ = \frac{3 + \sqrt{3}}{12} π - \frac{3}{4} \end{aligned}$
と求まる。