3次正方行列\(A =(a_{jk})\)に対して、その恒久式（permanent）を
\[\begin{align}
{\rm perm}(A) &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} \\
&\ \ \ + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{22} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}
\end{align}\]
で定義する。いま\(A\)のすべての成分が非負（\(a_{jk} \ge 0\)）であり、かつ
\[\begin{align}
\sum_{j=1}^{3} a_{jk} &= 1\ \ \ (k = 1, 2, 3) \\
\sum_{k=1}^{3} a_{jk} &= 1\ \ \ (j = 1, 2, 3) \\
a_{11} &= a_{33} \\
a_{13} &= a_{31}
\end{align}\]
が成立するとき、\({\rm perm}(A)\)の最小値と、それを与える行列\(A\)を求めよ。
\[\begin{align}
a_{11} + a_{21} + a_{13} &= 1 \\
a_{12} + a_{22} + a_{32} &= 1 \\
a_{13} + a_{23} + a_{33} &= 1 \\
a_{11} + a_{12} + a_{13} &= 1 \\
a_{21} + a_{22} + a_{23} &= 1 \\
a_{31} + a_{32} + a_{33} &= 1
\end{align}\]
となり、これらの条件と
\[\begin{align}
a_{11} &= a_{33} \\
a_{13} &= a_{31}
\end{align}\]
から
\[
a_{12} = a_{12} = a_{23} = a_{32}
\]
が得られる。
また、この時、与えられた条件のうちで独立なものは
\[\begin{align}
a_{11} + a_{12} + a_{13} &= 1 \\
2 a_{12} + a_{22} &= 1
\end{align}\]
となる。
\({\rm perm}(A)\)を、これらの条件を使って具体的に書き下すと
\[\begin{align}
{\rm perm}(A) &= a_{11}^2 a_{22} + 2 a_{11} a_{12}^2 + 2 a_{13} a_{12}^2 + a_{13}^2 a_{22} \\
&= (a_{11}^2 + a_{13}^2) a_{22} + 2 a_{12}^2 (a_{11} + a_{13})
\end{align}\]
となる。
ここで、\(a_{11} = x, a_{13} = y\)とおくと
\[
{\rm perm}(A) = (x^2 + y^2)(2 x + 2 y – 1) + 2(1 – x – y)^2 (x + y)
\]
と表すことが出来る。この式は対称式である事に注意して、\(x + y = s, xy = t\)とおくと
\[\begin{align}
{\rm perm}(A) &=(s^2 – 2t) (2 s -1 ) + 2(1 – s)^2 s \\
&= s^2(2 s – 1) + 2s(1 – s)^2 -2 t (2 s – 1)
\end{align}\]
と書き直すことが出来る。
ここで、\(s\)は全ての\(a_{jk}\)が非負であるという条件から
\[
\frac{1}{2} \le s \le 1
\]
となる。
従って、\(2s – 1 \ge 0\)であるので、ある\(s\)に固定して考えると、\(t\)が最大となる時に\({\rm perm}(A)\)は最小となる。
ここで、相加相乗平均の関係から
\[
\sqrt{x y} \le \frac{x + y}{2}
\]
が言えるので、\(t\)が最大となるのは\(x = y\)の時であり、その時に最大値
\[
x y = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \frac{s^2}{2}
\]
を取る事が分かる。
この時の\({\rm perm}(A)\)の値を\(f(s)\)と書く事にすると
\[\begin{align}
f(s) &= s^2(2 s – 1) + 2s(1-s)^2 -2 \frac{s^2}{4}(2 s -1 ) \\
&= 3 s^3 – \frac{9}{2} s^2 + 2 s
\end{align}\]
となる。\(f(s)\)を\(s\)で微分して増減表を書いて、最小値を求めると
\[\begin{align}
f'(s) &= 9 s^2 – 9 s + 2 \\
&=(3 s – 1)(3 s – 2)
\end{align}\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
s & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(s) & & – & 0 & + & & \\ \hline
f(s) & \frac{1}{4} & \searrow & \frac{2}{9} & \nearrow & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\]
となり、\(s = \frac{2}{3}\)の時に最小値\(\frac{2}{9}\)を取る事が分かる。この時、\(x = y\)も成立しなければならない事に注意すれば、\(x = y = \frac{1}{3}\)が分かり、行列\(A\)の全ての成分が\(\frac{1}{3}\)である事が分かる。
