逆行列

[行列式の性質]

$A, B$ を2次の正方行列とし、${\rm det}(A), {\rm det}(B)$ を各々の行列式とする。
この時、
\begin{eqnarray}
{\rm det}(AB) = {\rm det}(A) {\rm det}(B)
\end{eqnarray}
が成り立つ。

[証明]

\begin{eqnarray}
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix},\
B =
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
と置く。

行列 $A, B$ の行列式は
\begin{eqnarray}
{\rm det}(A) &=& a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21} \\
{\rm det}(B) &=& b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21}
\end{eqnarray}
と求められる。

一方で、
\begin{eqnarray}
A B &=&
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{bmatrix} \\
&=&
\begin{bmatrix}
a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\
a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
から、$AB$ の行列式を求めると
\begin{eqnarray}
{\rm det}(AB) &=&
(a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}) (a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) – (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}) (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) \\
&=&
(a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21}) \\
&=& {\rm det}(A) {\rm det}(B)
\end{eqnarray}
となり、主張が正しいことが示される。
（実は、この性質は一般の $n$ 次正方行列について成り立つ。）

この行列式の性質を使って証明を試みよう。

(1)
$A$ が正則であるので、逆行列 $A^{-1}$ が存在し
\begin{eqnarray}
A A^{-1} = E
\end{eqnarray}
が成り立つ。ここに $E$ は2行2列の単位行列とする。
両辺の行列式を考えて、先に証明した関係を使えば（単位行列の行列式が $1$ であることに注意して）
\begin{eqnarray}
{\rm det}(A A^{-1}) = {\rm det}(E) \\
{\rm det}(A) {\rm det}(A^{-1}) = 1
\end{eqnarray}
従って、行列 $A$ が正則、つまり ${\rm det}(A) \neq 0$ であれば、その逆行列 $A^{-1}$ も正則、つまり ${\rm det}(A^{-1}) \neq 0$ であることが分かる。

さらに、行列 $A$ とその逆行列 $A^{-1}$ の間に成り立つ関係式
\begin{eqnarray}
A A^{-1} = A^{-1} A = E
\end{eqnarray}
は、$A$ を $A^{-1}$ の逆行列とも見ることが出来て
\begin{eqnarray}
(A^{-1})^{-1} A^{-1} = A^{-1} (A^{-1})^{-1} = E
\end{eqnarray}
となるので、$(A^{-1})^{-1} = A$ が成立する。

(2)
$A, B$ を正則行列（つまり、${\rm det}(A) \neq 0, {\rm det}(B) \neq 0$）とすると、最初に証明した式より、$AB$ も正則行列となる。
すなわち、
\begin{eqnarray}
{\rm det}(AB) &=& {\rm det}(A) {\rm det}(B) \neq 0
\end{eqnarray}
が成り立つ。
従って、$AB$ の逆行列が存在する。それを $(AB)^{-1}$ と書けば、$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ である。何故ならば、
\begin{eqnarray}
(A B) (B^{-1} A^{-1}) &=& A (B B^{-1}) A^{-1} \\
&=& A A^{-1} \\
&=& E, \\
(B^{-1} A^{-1}) (A B) &=& B^{-1} (A^{-1} A) B \\
&=& B^{-1} B \\
&=& E
\end{eqnarray}
が成り立つからである。

行列 $A, B$ を入れ替えれば、
\begin{eqnarray}
(BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1}
\end{eqnarray}
が成り立つことが分かる。

以上により、(1), (2) が示された。
（証明に用いた行列式に関する性質は一般の n 次正方行列に対して成り立つことを注意したが、このことから、(1), (2) は一般の n 次正方行列に対して成り立つ。）

2行2列の行列に限れば、もっと直接的な計算からも同様の結果を示すことが出来る。

(1)
行列 $A$ の成分を
\begin{eqnarray}
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
と置けば、
\begin{eqnarray}
A^{-1} = \frac{1}{a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}}
\begin{bmatrix}
a_{22} & – a_{12} \\
– a_{21} & a_{11} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
となり、さらに、この行列の逆行列を求めるために、$A^{-1}$ の行列式を求めると
\begin{eqnarray}
{\rm det}(A^{-1}) &=& \frac{1}{(a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21})^2}(a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}) \\
&=& \frac{1}{a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}}
\end{eqnarray}
となることから、$A$ が正則行列（つまり、${\rm det}(A) \neq 0$）ならば、$A^{-1}$ も正則行列（つまり、${\rm det}(A^{-1})\neq 0$）であることが分かり、さらにその逆行列 $(A^{-1})^{-1}$ が
\begin{eqnarray}
(A^{-1})^{-1} &=& \frac{1}{\frac{1}{a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}}} \frac{1}{a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix} \\
&=& A
\end{eqnarray}
となることが分かる。

(2)
行列 $A, B$ を各々
\begin{eqnarray}
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix},\
B =
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
と置く。この時、行列 $A, B$ 共に正則行列であるとすると
\begin{eqnarray}
a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21} &\neq& 0 \\
b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21} &\neq& 0
\end{eqnarray}
が成り立つ。

具体的に $AB$ を計算すれば
\begin{eqnarray}
A B &=&
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{bmatrix} \\
&=&
\begin{bmatrix}
a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\
a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
となる。この行列の行列式を計算すれば
\begin{eqnarray}
{\rm det}(AB) &=& (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21})(a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}) – (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22})(a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) \\
&=& (a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21}) \neq 0
\end{eqnarray}
となり、$A, B$ が共に正則行列であれば $AB$ も正則行列であることが分かる。
（この計算は、最初の行列式の性質の計算と全く同じである。）

行列 $AB$ の逆行列を求めれば
\begin{eqnarray}
(AB)^{-1} &=& \frac{1}{(a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}) (b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21})}
\begin{bmatrix}
a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} & – (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}) \\
– (a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) & a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
となるが、一方で、$B^{-1} A^{-1}$ を計算すれば
\begin{eqnarray}
B^{-1} A^{-1} &=& \frac{1}{b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21}}
\begin{bmatrix}
b_{22} & – b_{12} \\
– b_{21} & b_{11} \\
\end{bmatrix}
\frac{1}{a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21}}
\begin{bmatrix}
a_{22} & – a_{12} \\
– a_{21} & a_{11} \\
\end{bmatrix} \\
&=& \frac{1}{(b_{11} b_{22} – b_{12} b_{21})(a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21})}
\begin{bmatrix}
b_{22} a_{22} + b_{12} a_{21} & – (b_{22} a_{12} + b_{12} a_{11}) \\
-(b_{21} a_{22} + b_{11} a_{21}) & b_{21} a_{12} + b_{11} a_{11} \\
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
となり、$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ が成り立っていることが分かる。

行列 $A, B$ を入れ替えれば、$(B A)^{-1} = A^{-1} B^{-1}$ も言える。