逆行列

[行列式の性質]

$A,B$ を2次の正方行列とし、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A),\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)$ を各々の行列式とする。
この時、
$$\begin{array}{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)\end{array}$$
が成り立つ。

[証明]

$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
と置く。

行列 $A,B$ の行列式は
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)& =& a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}\\ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)& =& b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21}\end{array}$$
と求められる。

一方で、
$$\begin{array}{rcl}AB& =& \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
から、$AB$ の行列式を求めると
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)& =& (a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21})(a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22})–(a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22})(a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21})\\ & =& (a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21})(b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21})\\ & =& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)\end{array}$$
となり、主張が正しいことが示される。
（実は、この性質は一般の $n$ 次正方行列について成り立つ。）

この行列式の性質を使って証明を試みよう。

(1)
$A$ が正則であるので、逆行列 $A^{-1}$ が存在し
$$\begin{array}{r}A{A}^{-1}=E\end{array}$$
が成り立つ。ここに $E$ は2行2列の単位行列とする。
両辺の行列式を考えて、先に証明した関係を使えば（単位行列の行列式が $1$ であることに注意して）
$$\begin{array}{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A{A}^{-1})=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(E)\\ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A^{-1})=1\end{array}$$
従って、行列 $A$ が正則、つまり $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\ne 0$ であれば、その逆行列 $A^{-1}$ も正則、つまり $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A^{-1})\ne 0$ であることが分かる。

さらに、行列 $A$ とその逆行列 $A^{-1}$ の間に成り立つ関係式
$$\begin{array}{r}A{A}^{-1}=A^{-1}A=E\end{array}$$
は、$A$ を $A^{-1}$ の逆行列とも見ることが出来て
$$\begin{array}{r}(A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}=A^{-1}(A^{-1}{)}^{-1}=E\end{array}$$
となるので、$(A^{-1}{)}^{-1}=A$ が成立する。

(2)
$A,B$ を正則行列（つまり、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\ne 0,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)\ne 0$）とすると、最初に証明した式より、$AB$ も正則行列となる。
すなわち、
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)& =& \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(B)\ne 0\end{array}$$
が成り立つ。
従って、$AB$ の逆行列が存在する。それを $(AB{)}^{-1}$ と書けば、$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ である。何故ならば、
$$\begin{array}{rcl}(AB)(B^{-1}{A}^{-1})& =& A(B{B}^{-1})A^{-1}\\ & =& A{A}^{-1}\\ & =& E,\\ (B^{-1}{A}^{-1})(AB)& =& B^{-1}(A^{-1}A)B\\ & =& B^{-1}B\\ & =& E\end{array}$$
が成り立つからである。

行列 $A,B$ を入れ替えれば、
$$\begin{array}{r}(BA{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}\end{array}$$
が成り立つことが分かる。

以上により、(1), (2) が示された。
（証明に用いた行列式に関する性質は一般の n 次正方行列に対して成り立つことを注意したが、このことから、(1), (2) は一般の n 次正方行列に対して成り立つ。）

2行2列の行列に限れば、もっと直接的な計算からも同様の結果を示すことが出来る。

(1)
行列 $A$ の成分を
$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
と置けば、
$$\begin{array}{r}{A}^{-1}=\frac{1}{a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& –a_{12}\\ –a_{21}& a_{11}\end{array}\right]\end{array}$$
となり、さらに、この行列の逆行列を求めるために、$A^{-1}$ の行列式を求めると
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A^{-1})& =& \frac{1}{(a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}{)}^2}(a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21})\\ & =& \frac{1}{a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}}\end{array}$$
となることから、$A$ が正則行列（つまり、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)\ne 0$）ならば、$A^{-1}$ も正則行列（つまり、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A^{-1})\ne 0$）であることが分かり、さらにその逆行列 $(A^{-1}{)}^{-1}$ が
$$\begin{array}{rcl}(A^{-1}{)}^{-1}& =& \frac{1}{\frac{1}{a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}}}\frac{1}{a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\\ & =& A\end{array}$$
となることが分かる。

(2)
行列 $A,B$ を各々
$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
と置く。この時、行列 $A,B$ 共に正則行列であるとすると
$$\begin{array}{rcl}{a}_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}& \ne & 0\\ b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21}& \ne & 0\end{array}$$
が成り立つ。

具体的に $AB$ を計算すれば
$$\begin{array}{rcl}AB& =& \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
となる。この行列の行列式を計算すれば
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(AB)& =& (a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21})(a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22})–(a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22})(a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21})\\ & =& (a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21})(b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21})\ne 0\end{array}$$
となり、$A,B$ が共に正則行列であれば $AB$ も正則行列であることが分かる。
（この計算は、最初の行列式の性質の計算と全く同じである。）

行列 $AB$ の逆行列を求めれば
$$\begin{array}{rcl}(AB{)}^{-1}& =& \frac{1}{(a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21})(b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21})}\left[\begin{array}{cc}{a}_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}& –(a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22})\\ –(a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21})& a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}\end{array}\right]\end{array}$$
となるが、一方で、$B^{-1}{A}^{-1}$ を計算すれば
$$\begin{array}{rcl}{B}^{-1}{A}^{-1}& =& \frac{1}{b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21}}\left[\begin{array}{cc}{b}_{22}& –b_{12}\\ –b_{21}& b_{11}\end{array}\right]\frac{1}{a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21}}\left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& –a_{12}\\ –a_{21}& a_{11}\end{array}\right]\\ & =& \frac{1}{(b_{11}{b}_{22}–b_{12}{b}_{21})(a_{11}{a}_{22}–a_{12}{a}_{21})}\left[\begin{array}{cc}{b}_{22}{a}_{22}+b_{12}{a}_{21}& –(b_{22}{a}_{12}+b_{12}{a}_{11})\\ -(b_{21}{a}_{22}+b_{11}{a}_{21})& b_{21}{a}_{12}+b_{11}{a}_{11}\end{array}\right]\end{array}$$
となり、$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ が成り立っていることが分かる。

行列 $A,B$ を入れ替えれば、$(BA{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ も言える。