行列の指数関数

各々の固有値に対する規格化された固有ベクトルを求めると、

$\lambda =2$ のとき
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ –\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\end{array}$$
と選ぶことが出来て、また
$\lambda =4$ のとき
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\end{array}$$
と選ぶことが出来る。

固有ベクトルの選び方は一意的では無いことに注意して欲しい。固有ベクトルの大きさも1である必要はないが、以下の議論で、単位ベクトルとなるように選んでおくと、計算が簡便になる。

これより、行列 $P$ を
$$\begin{array}{rl}P& =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ –\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\end{array}$$
と置けば
$$\begin{array}{rl}AP& =P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]\\ A& =P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\end{array}$$
が成り立つことが分かる。
ここに行列 $P$ は $P{}^{\mathrm{t}}P={}^{\mathrm{t}}PP=E_2$ を満たしており、直交行列であることを使った。
（これが固有ベクトルを単位ベクトルに取ったご利益である。）

従って、$n=0,1,2,\cdots$ に対して
$$\begin{array}{rl}{A}^n& =\left(P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\right)\left(P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\right)\cdots \left(P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\right)\\ & =P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]\left(P{}^{\mathrm{t}}P\right)\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]\left({}^{\mathrm{t}}PP\right)\cdots \left({}^{\mathrm{t}}PP\right)\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\\ & =P{\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right]}^n{}^{\mathrm{t}}P\\ & =P\left[\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 4^n\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\end{array}$$
となることが分かる。従って
$$\begin{array}{rl}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(A)& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{A}^n\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}P\left[\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 4^n\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\\ & =P\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\left[\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 4^n\end{array}\right]\right){}^{\mathrm{t}}P\\ & =P\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^2& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^4\end{array}\right]{}^{\mathrm{t}}P\\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^2+{\mathrm{e}}^4)& \frac{1}{2}(-{\mathrm{e}}^2+{\mathrm{e}}^4)\\ \frac{1}{2}(-{\mathrm{e}}^2+{\mathrm{e}}^4)& \frac{1}{2}({\mathrm{e}}^2+{\mathrm{e}}^4)\end{array}\right]\end{array}$$
と求まる。