ローレンツ(Lorentz)変換

$\overrightarrow{x}$を${\overrightarrow{x}}^{\prime }$で表す行列は$\mathrm{\Lambda }$の逆行列${\mathrm{\Lambda }}^{-1}$を求めれば良いが、これは物理的に考えると、$\mathrm{\Lambda }$において$\overrightarrow{V}$を$-\overrightarrow{V}$としたものに等しいと考えられる。
実際に
$$\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V})=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \gamma \frac{V_x}{c}& \gamma \frac{V_y}{c}& \gamma \frac{V_z}{c}\\ \gamma \frac{V_x}{c}& 1+(\gamma –1)\frac{V_x^2}{V^2}& (\gamma –1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& (\gamma –1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_y}{c}& (\gamma –1)\frac{V_y{V}_x}{V^2}& 1+(\gamma –1)\frac{V_y^2}{V^2}& (\gamma –1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_z}{c}& (\gamma –1)\frac{V_z{V}_x}{V^2}& (\gamma –1)\frac{V_z{V}_y}{V^2}& 1+(\gamma –1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)$$
として
$$\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V})$$
を計算すると
$$\begin{array}{rl}{(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V}))}_0^0& ={\gamma }^2–{\gamma }^2\frac{V_x^2}{c^2}–\gamma \frac{V_y^2}{c^2}–\gamma \frac{V_z^2}{c^2}=\gamma \left(1–\frac{V^2}{c^2}\right)=1\\ {(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V}))}_1^0& ={\gamma }^2\frac{V_x}{c}–\gamma \frac{V_x}{c}(1+(\gamma –1)\frac{V_x^2}{V^2})–\gamma \frac{V_y}{c}(\gamma –1)\frac{V_y{V}_x}{V^2}–\gamma \frac{V_z}{c}(\gamma –1)\frac{V_y{V}_x}{V^2}=0\\ {(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V}))}_1^1& =–{\gamma }^2\frac{V_x^2}{c^2}+{(1+(\gamma –1)\frac{V_x^2}{V^2})}^2+{((\gamma –1)\frac{V_y{V}_x}{V^2})}^2+{((\gamma –1)\frac{V_z{V}_x}{V^2})}^2=1\\ {(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V}))}_2^1& =–{\gamma }^2\frac{V_x{V}_y}{c^2}+(1+(\gamma –1)\frac{V_x^2}{V^2})(\gamma –1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}+(\gamma –1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}(1+(\gamma –1)\frac{V_y^2}{V^2})\\ & +(\gamma –1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}(\gamma –1)\frac{V_z{V}_y}{V^2}=0\end{array}$$
となり、他の成分も同様の計算で$\mathrm{\Lambda }(-\overrightarrow{V})$が$\mathrm{\Lambda }$の逆行列であることが分かる。