$n = 0, 1, 2, \cdots$ に対して、次を示せ。$(0 < x < 2 \pi)$
\begin{align}
\frac{\cos nx - \cos(n + 1)x}{1 - \cos x} &= \frac{\sin\left(n + \frac{1}{2}\right)x}{\sin\frac{x}{2}}, \\
\frac{1 - \cos(n + 1) x}{1 - \cos x} &= \left(\frac{\sin\frac{n + 1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2
\end{align}
まず、
\begin{align}
\frac{1 – \cos x}{2} = \sin^2\frac{x}{2}
\end{align}
に注意すれば、第１式は
\begin{align}
\cos nx – \cos(n + 1)x = 2\sin\left(n + \frac{1}{2}\right) x \sin\frac{x}{2}
\end{align}
を示せば良いことが分かる。
そこで、左辺を計算すると
\begin{align}
\cos nx – \cos nx \cos x + \sin nx \sin x
\end{align}
となる。一方で右辺は
\begin{align}
2 \left(\sin nx \cos\frac{x}{2} + \cos nx \sin\frac{x}{2}\right) \sin \frac{x}{2} =
\sin n x \sin x + \cos nx (1 – \cos nx)
\end{align}
となり、左辺と等しいことが分かり、第１式が示された。
第２式に関しても同様の注意から
\begin{align}
1 – \cos(n + 1)x = 2 \sin^2\frac{n + 1}{2} x
\end{align}
を示せば良いが、これは明らかに成り立つ。
以上より題意が示された。
