3次元空間のベクトル\(\vec{A} = (A_x, A_y, A_z), \vec{B} = (B_x, B_y, B_z), \vec{C} = (C_x, C_y, C_z)\)に対して、以下の件形式を示せ。
(1) \(|\vec{A} \cdot \vec{B}| = \cos\theta\ \ \mbox{(ここに\(\theta\)は\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)とのなす角度)}\)
(2) \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sin\theta\ \ \mbox{(ここに\(\theta\)は\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)とのなす角度)}\)
(3) \(\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0,\ \ \ \vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})\)
すなわち、\(\vec{A} \times \vec{B}\)は\(\vec{A}\)と\(\vec{B}\)の両方に直交する。
(4) 一般に\(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}\)は成り立たない。
従って、\(\vec{A} \times \vec{B} \times \vec{C}\)という記法は上式の右辺の事か左辺の事か分からないので許されない。
(5) \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})\)
(6) \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B} – (\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C}\)
(7) \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B})\ \ \ \mbox{(ヤコビの恒等式)}\)
(1) 三角形\(OAB\)について余弦定理を用いると
\[
|\vec{BA}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 – 2 |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta
\]
が成立する。ここで左辺は
\[\begin{align}
|\vec{BA}|^2 &= |\vec{A} – \vec{B}|^2 \\
&= (\vec{A} – \vec{B}) \cdot (\vec{A} – \vec{B}) \\
&= |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 – 2 (\vec{A} \cdot \vec{B})
\end{align}\]
と変形出来る事に注意すれば
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta
\]
が成り立つことが分かる。
(2) 示すべき式は両辺共に0以上である事に注意して、左辺の2乗を計算すると
\[\begin{align}
|\vec{A} \times \vec{B}|^2 &= (A_y B_z – A_z B_y)^2+ (A_z B_x – A_x B_z)^2 + (A_x B_y – A_y B_x)^2 \\
&= A_y^2 B_z^2 + A_z^2 B_y^2 + A_z^2 B_x^2 + A_x^2 B_z^2 + A_x^2 B_y^2 + A_y^2 B_x^2 \\
&\ \ \ \ \ – 2 (A_y A_z B_y B_z + A_x A_z B_x B_z + A_x A_y B_x B_y)
\end{align}\]
となる。一方で右辺の2乗は
\[\begin{align}
(|\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta)^2 &= |\vec{A}|^2 |\vec{B}|^2 \sin^2\theta \\
&= |\vec{A}|^2 |\vec{B}|^2 (1 – \cos^2\theta) \\
&= |\vec{A}|^2 |\vec{B}|^2 – (|\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta)^2 \\
&= |\vec{A}|^2 |\vec{B}|^2 – (\vec{A} \cdot \vec{b})^2 \\
&= (A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)(B_x^2 + B_y^2 + B_z^2) – (A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z)^2 \\
&= A_x^2 B_y^2 + A_x^2 B_z^2 + A_y^2 B_x^2 + A_y^2 B_z^2 + A_z^2 B_x^2 + A_z^2 B_y^2 \\
&\ \ \ \ \ – 2 ( A_x A_y B_x B_y + A_x A_z B_x B_z + A_y A_z B_y B_z)
\end{align}\]
となり、示すべき式が成立することが分かる。
(3)
\[\begin{align}
\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) &= A_x (A_y B_z – A_z B_y) + A_y (A_z B_x – A_x B_z) + A_z (A_x B_y – A_y B_x) \\
&= 0
\end{align}\]
\(\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})\) についても同様にして示せる。
(4) 例えば
\[\begin{align}
\vec{A} &= (1, 0, 0) \\
\vec{B} &= (0, 1, 0) \\
\vec{C} &= (1, 1, 1)
\end{align}\]
とすれば、
\[\begin{align}
\vec{B} &\times \vec{C} = (1, 0, -1) \\
\vec{A} &\times (\vec{B} \times \vec{C}) = (0, 1, 0) \\
\vec{A} &\times \vec{B} = (0, 0, 1) \\
(\vec{A} &\times \vec{B}) \times \vec{C} = (-1, 1, 0)
\end{align}\]
となり、一般に \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}\)が成り立たない事が分かる。
(5)
\[\begin{align}
\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) &= A_x (B_y C_z – B_z C_y) + A_y (B_z C_x – B_x C_z) + A_z (B_x C_y – B_y C_x) \\
\vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) &= B_x (C_y A_z – C_z A_y) + B_y (C_z A_x – C_x A_z) + B_z (C_x A_y – C_y A_x) \\
\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) &= C_x (A_y B_z – A_z B_y) + C_y (A_z B_x – A_x B_z) + C_z (A_x B_y – A_y B_x)
\end{align}\]
明らかに、上の3式は等しい事が分かる。
(6) \(x\)成分について考えると
\[\begin{align}
\left\{\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) \right\}_x &= A_y (\vec{B} \times \vec{C})_z – A_z (\vec{B} \times \vec{C})_y \\
&= A_y (B_x C_y – B_y C_x) – A_z (B_z C_x – B_x C_z) + A_x B_x C_x – A_x B_x C_x \\
&= (A_x C_x + A_y C_y + A_z C_z) B_x – (A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z) C_x \\
&= (\vec{A} \cdot \vec{C}) B_x – (\vec{A} \cdot \vec{B}) C_x
\end{align}\]
となり、成立することが分かる。\(y, z\)成分についても同様にして示せる。
(7) 各項において(6)を用いる事により
\[\begin{align}
\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) &=
(\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B} – (\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C} \\
&\ \ \ \ \ + (\vec{B} \cdot \vec{A}) \vec{C} – (\vec{B} \cdot \vec{C}) \vec{A} \\
&\ \ \ \ \ + (\vec{C} \cdot \vec{B}) \vec{A} – (\vec{C} \cdot \vec{A}) \vec{B} \\
&= 0
\end{align}\]
となり、示すべき式が証明される。
