ベクトルの内積と外積の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

3次元空間のベクトル $\vec{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z}), \vec{B} = (B_{x}, B_{y}, B_{z}), \vec{C} = (C_{x}, C_{y}, C_{z})$ に対して、以下の件形式を示せ。

(1) $| \vec{A} \cdot \vec{B} | = \cos θ (ここに θ は \vec{A} と \vec{B} とのなす角度)$

(2) $| \vec{A} \times \vec{B} | = \sin θ (ここに θ は \vec{A} と \vec{B} とのなす角度)$

(3) $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0, \vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$
すなわち、 $\vec{A} \times \vec{B}$ は $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の両方に直交する。

(4) 一般に $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ は成り立たない。
従って、 $\vec{A} \times \vec{B} \times \vec{C}$ という記法は上式の右辺の事か左辺の事か分からないので許されない。

(5) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$

(6) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C}$

(7) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) (ヤコビの恒等式)$

(1) 三角形 $O A B$ について余弦定理を用いると
$| \vec{B A} |^{2} = | \vec{A} |^{2} + | \vec{B} |^{2} - 2 | \vec{A} | | \vec{B} | \cos θ$
が成立する。ここで左辺は
$\begin{aligned} | \vec{B A} |^{2} & = | \vec{A} - \vec{B} |^{2} \\ = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) \\ = | \vec{A} |^{2} + | \vec{B} |^{2} - 2 (\vec{A} \cdot \vec{B}) \end{aligned}$
と変形出来る事に注意すれば
$\vec{A} \cdot \vec{B} = | \vec{A} | | \vec{B} | \cos θ$
が成り立つことが分かる。

(2) 示すべき式は両辺共に0以上である事に注意して、左辺の2乗を計算すると
$\begin{aligned} | \vec{A} \times \vec{B} |^{2} & = (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y})^{2} + (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z})^{2} + (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x})^{2} \\ = A_{y}^{2} B_{z}^{2} + A_{z}^{2} B_{y}^{2} + A_{z}^{2} B_{x}^{2} + A_{x}^{2} B_{z}^{2} + A_{x}^{2} B_{y}^{2} + A_{y}^{2} B_{x}^{2} \\ - 2 (A_{y} A_{z} B_{y} B_{z} + A_{x} A_{z} B_{x} B_{z} + A_{x} A_{y} B_{x} B_{y}) \end{aligned}$
となる。一方で右辺の2乗は
$\begin{aligned} (| \vec{A} | | \vec{B} | \sin θ)^{2} & = | \vec{A} |^{2} | \vec{B} |^{2} \sin^{2} θ \\ = | \vec{A} |^{2} | \vec{B} |^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = | \vec{A} |^{2} | \vec{B} |^{2} - (| \vec{A} | | \vec{B} | \cos θ)^{2} \\ = | \vec{A} |^{2} | \vec{B} |^{2} - (\vec{A} \cdot \vec{b})^{2} \\ = (A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}) (B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}) - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z})^{2} \\ = A_{x}^{2} B_{y}^{2} + A_{x}^{2} B_{z}^{2} + A_{y}^{2} B_{x}^{2} + A_{y}^{2} B_{z}^{2} + A_{z}^{2} B_{x}^{2} + A_{z}^{2} B_{y}^{2} \\ - 2 (A_{x} A_{y} B_{x} B_{y} + A_{x} A_{z} B_{x} B_{z} + A_{y} A_{z} B_{y} B_{z}) \end{aligned}$
となり、示すべき式が成立することが分かる。

(3)
$\begin{aligned} \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) & = A_{x} (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}) + A_{y} (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}) + A_{z} (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}) \\ = 0 \end{aligned}$
$\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ についても同様にして示せる。

(4) 例えば
$\begin{aligned} \vec{A} & = (1, 0, 0) \\ \vec{B} & = (0, 1, 0) \\ \vec{C} & = (1, 1, 1) \end{aligned}$
とすれば、
$\begin{aligned} \vec{B} & \times \vec{C} = (1, 0, - 1) \\ \vec{A} & \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (0, 1, 0) \\ \vec{A} & \times \vec{B} = (0, 0, 1) \\ (\vec{A} & \times \vec{B}) \times \vec{C} = (- 1, 1, 0) \end{aligned}$
となり、一般に $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ が成り立たない事が分かる。

(5)
$\begin{aligned} \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) & = A_{x} (B_{y} C_{z} - B_{z} C_{y}) + A_{y} (B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z}) + A_{z} (B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x}) \\ \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) & = B_{x} (C_{y} A_{z} - C_{z} A_{y}) + B_{y} (C_{z} A_{x} - C_{x} A_{z}) + B_{z} (C_{x} A_{y} - C_{y} A_{x}) \\ \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) & = C_{x} (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}) + C_{y} (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}) + C_{z} (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}) \end{aligned}$
明らかに、上の3式は等しい事が分かる。

(6) $x$ 成分について考えると
$\begin{aligned} {\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})}_{x} & = A_{y} (\vec{B} \times \vec{C})_{z} - A_{z} (\vec{B} \times \vec{C})_{y} \\ = A_{y} (B_{x} C_{y} - B_{y} C_{x}) - A_{z} (B_{z} C_{x} - B_{x} C_{z}) + A_{x} B_{x} C_{x} - A_{x} B_{x} C_{x} \\ = (A_{x} C_{x} + A_{y} C_{y} + A_{z} C_{z}) B_{x} - (A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}) C_{x} \\ = (\vec{A} \cdot \vec{C}) B_{x} - (\vec{A} \cdot \vec{B}) C_{x} \end{aligned}$
となり、成立することが分かる。 $y, z$ 成分についても同様にして示せる。

(7) 各項において(6)を用いる事により
$\begin{aligned} \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) & = (\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C} \\ + (\vec{B} \cdot \vec{A}) \vec{C} - (\vec{B} \cdot \vec{C}) \vec{A} \\ + (\vec{C} \cdot \vec{B}) \vec{A} - (\vec{C} \cdot \vec{A}) \vec{B} \\ = 0 \end{aligned}$
となり、示すべき式が証明される。