\(V\)を3次以下の実係数1変数多項式からなる実線形空間、\(W\)を2次以下の実係数1変数多項式からなる実線形空間とする。
\(V\)から\(W\)への写像\(F\)を
\[
F(f(x)) = 2 x f^{\prime \prime}(x) – f'(x + 1) + x^2 f(1)
\]
によって定める。この時、次の問いに答えよ。
(1) \(F\)は線形写像であることを示せ。
(2) \(V\)の基底を\(\langle 1, 3 x -5, 2 x^2 – 3 x, x^3 – 2 x^2 + 4 \rangle\)、
\(W\)の基底を\(\langle 1, x – 1, (x – 1)^2 \rangle\)とするとき、これら2つの基底に関する線形写像\(F\)の表現行列を求めよ。
\[\begin{align}
F(\alpha f(x) + \beta g(x)) &= 2 x \frac{{\rm d}^2}{{\rm d} x^2}(\alpha f(x) + \beta g(x)) – \frac{\rm d}{{\rm d} x}(\alpha f(x) + \beta g(x)) + x^2 (\alpha f(1) + \beta g(1)) \\
&= \alpha (2 x f^{\prime\prime}(x) – f'(x) + x^2 f(1)) + \beta (2 x g^{\prime\prime}(x) – g'(x) + x^2 g(1)) \\
&= \alpha F(f(x)) + \beta F(g(x))
\end{align}\]
従って、写像\(F\)は線形写像である。
(2)
\(V\)の基底を
\[\begin{align}
e_V^1 &= 1 \\
e_V^2 &= 3 x – 5 \\
e_V^3 &= 2 x^2 – 3 x \\
e_V^4 &= x^3 – 2 x^2 + 4
\end{align}\]
と書き、\(W\)の基底を
\[\begin{align}
e_W^1 &= 1 \\
e_W^2 &= x – 1 \\
e_W^3 &= (x – 1)^2
\end{align}\]
と書く事にする。
\(V\)の各基底が線形写像\(F\)によってどのように写るかを調べる。
\[\begin{align}
F(e_V^1) & x^2 = (x – 1)^2 + 2 (x – 1) + 1 = e_W^1 + 2 e_W^2 + e_W^3 \\
F(e_V^2) &= -2 x^2 – 3 = – 2 (x – 1)^2 – 4 (x – 1) – 5 = -5 e_W^1 – 4 e_W^2 – 2 e_W^3 \\
F(e_V^3) &= – x^2 + 4 x – 1 = – (x – 1)^2 + 2 (x – 1) + 2 = 2 e_W^1 + 2 e_W^2 – e_W^3 \\
F(e_V^4) &= 12 x^2 -10 x + 1 = 12 (x – 1)^2 + 14 (x – 1) + 3 = 3 e_W^1 + 14 e_W^2 + 12 e_W^3
\end{align}\]
従って、線形写像\(F\)の与えられた基底における表現行列は
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & -5 & 2 & 3 \\
2 & -4 & 2 & 14 \\
1 & -2 & -1 & 12 \\
\end{array}
\right)
\]
と求まる。
