関数空間における距離関数｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

閉区間 $[- 1, 1]$ 上で定義される実数値連続関数全体の集合を $C [- 1, 1]$ で表す。この時、次の二つの関数を定義する。
$\begin{aligned} d_{0} & : C [- 1, 1] \times C [- 1, 1] \to R^{1}, d_{0} (f, g) = sup {| f (x) - g (x) | | - 1 \leq x \leq 1} \\ d_{1} & : C [- 1, 1] \times C [- 1, 1] \to R^{1}, d_{1} (f, g) = \int_{- 1}^{1} | f (x) - g (x) | d x \end{aligned}$
$d_{0}, d_{1}$ は距離関数である。

また、 $f : [- 1, 1] \to R, f (x) = x$ 、 $g : [- 1, 1] \to R, g (x) 1 - x^{2}$ とする。このとき

(1) $d_{0} (f, g)$ と $d_{1} (f, g)$ を求めよ。

(2) 距離 $d_{1}$ について、 $ϵ = 1$ としたとき、 $g$ の $ϵ -$ 近傍に属する関数 $h : [- 1, 1] \to R$ の例を1つ挙げよ。ただし、 $g \neq h$ となるようにすること。

(1) まず

d_{0} (f, g)

を求める。

h (x) = f (x) - g (x) = x - (1 - x^{2}) = x^{2} + x - 1

とすると、

h^{'} (x) = 2 x - 1

に注意して、

h (x)

と

| h (x) |

の増減表を作ると

\begin{array}{cccccccc} x & - 1 & \dots & - \frac{1}{2} & \dots & \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} & \dots & 1 \\ h^{'} (x) & - & - & 0 & + & + & + & + \\ h (x) & - 1 & - \frac{5}{4} & 0 & 1 \\ | h (x) | & 1 & \frac{5}{4} & 0 & 1 \end{array}

となるので、

\begin{aligned} d_{0} (f, g) & = sup {| f - g | | - 1 \leq x \leq 1} \\ = sup {| h (x) | | - 1 \leq x \leq 1} \\ = \frac{5}{4} \end{aligned}

と求まる。

次に $d_{1} (f, g)$ を求めると
$\begin{aligned} d_{1} (f, g) & = \int_{- 1}^{1} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{- 1}^{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}} (- x^{2} - x + 1) d x + \int_{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}}^{1} (x^{2} + x - 1) d x \\ = \frac{5 \sqrt{5} - 1}{6} \end{aligned}$
となる。ここで積分計算は、 $α = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ とする時、 $α^{2} + α - 1 = 0$ なる関係が成り立つことを利用すると計算が楽になる。

(2)
$h (x) = k x + g (x) = k x + (1 - x^{2})$
として、どのような $k$ が $g$ の $ϵ$ -近傍にあるかを考える。ここに簡単のために $k > 0$ とする。
（先に定義した $h$ とは別の事なので注意して欲しい。）

$\begin{aligned} d_{1} (h, g) & = \int_{- 1}^{1} | h (x) - g (x) | d x \\ = \int_{- 1}^{1} k | x | d x \\ = k \end{aligned}$
すなわち $k < 1$ と取れば、 $h (x)$ は $g$ の $ϵ$ -近傍にある事が分かる。