線形代数

空間図形

座標空間において3点
A=(0,1,1)B=(2,2,3)C=(4,0,2)
を通る平面に関して点(9,1,1)と対称な点の座標を求めなさい。

AB=(2,2,3)(0,1,1)=(2,1,2)AC=(4,0,2)(0,1,1)=(4,1,1)
の二つのベクトルは3点A,B,Cを通る平面内にある。

この二つのベクトルに垂直なベクトルが、求める平面の法線ベクトルとなる。
そのようなベクトルを求めるには、例えば、これらのベクトルのベクトル積を求めれば良い。
AB×AC=(3,6,6)
従って、この平面の法線ベクトルnn=(1,2,2)として良い。
今、点A=(0,1,1)を通るので、この平面の方程式は
(x0)+2(y1)2(z1)=0x+2y2z=0
と求まる。

さらに、点(9,1,1)を通り、この平面に垂直な直線はパラメータtを用いて
(9,1,1)+t(1,2,2)=(9+t,1+2t,12t)
と表すことが出来る。t=0の時が点(9,1,1)である。
また、この直線と平面の交点を求めると
(9+t)+2(1+2t)2(12t)=09t+9=0t=1
なる時に平面と交わる。

従って、t=2に対応する点が求める点の座標となる。
(92,1+4,1+4)=(7,3,5)