3次正方行列
\[
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 {\rm i} & 2 \\
– 2 {\rm i} & – 3 & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
について、次の問いに答えよ。ただし、\({\rm i}\)は虚数単位である。
(1) \(A\)の固有値を全て求めよ。
(2) 成分が複素数である\(n\)次正方行列\(M\)に対し、その転置行列の複素共役行列を\(M^{*}\)とする。
ここで、\(M M^{*} = M^{*} M = I\)（\(I\)は\(n\)次単位行列）が成り立つ時、\(M\)をユニタリー行列という。(1) で求めた固有値をそれぞれ\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 (\lambda_1 \le \lambda_2 \le \lambda_3)\)とするとき
\[
P^{-1} A P =
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{array}
\right)
\]
を満たすユニタリー行列\(P\)は存在するか？存在するならば、その行列\(P\)を求めよ。存在しないならば、そのことを証明せよ。
\[\begin{align}
|A – \lambda I| &=
\begin{array}{|ccc|}
1 – \lambda & 2 {\rm i} & 2 \\
-2 {\rm i} & -3 – \lambda & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & 1 – \lambda \\
\end{array} \\
&=
\begin{array}{|ccc|}
3 – \lambda & 0 & 3 – \lambda \\
– 2 {\rm i} & -3 – \lambda & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & 1 – \lambda \\
\end{array} \\
&=
\begin{array}{|ccc|}
2 – \lambda & 0 & 0 \\
– 2 {\rm i} & -3 – \lambda & 2 {\rm i} \\
2 & -2 {\rm i} & -1-\lambda \\
\end{array} \\
&=(3 – \lambda)\left\{(-3 -\lambda)(-1-\lambda) – 8 \right\} \\
&=(3 – \lambda)(\lambda + 5)(\lambda – 1)
\end{align}\]
従って、行列\(A\)の固有値は
\[
\lambda_1 = -5, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 3
\]
と求まる。
(2) 各固有値における固有ベクトルを求める。
\(\lambda_1 = -5\)の時
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
6 & 2 {\rm i} & 2 \\
– 2 {\rm i} & 2 & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & 6 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
\]
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
\[
\vec{u}_1 =
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2 {\rm i}}{\sqrt{6}} \\
\frac{-1}{\sqrt{6}} \\
\end{array}
\right)
\]
同様にして、\(\lambda_2 = 1\)の時
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 2 {\rm i} & 2 \\
– 2 {\rm i} & -4 & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
\]
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
\[
\vec{u}_2 =
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{- {\rm i}}{\sqrt{3}} \\
\frac{-1}{\sqrt{3}} \\
\end{array}
\right)
\]
同様にして、\(\lambda_3 = 3\)の時
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 2 {\rm i} & 2 \\
– 2 {\rm i} & -6 & 2 {\rm i} \\
2 & – 2 {\rm i} & -2 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
\]
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
\[
\vec{u}_3 =
\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}
\right)
\]
これらの結果をまとめて書くと
\[
A (\vec{u}_1 \vec{u}_2 \vec{u}_3) = (\vec{u}_1 \vec{u}_2 \vec{u}_3)
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{array}
\right)
\]
となる。ここで
\[
P = (\vec{u}_1 \vec{u}_2 \vec{u}_3)
\]
とおけば、
\[
P^{\dagger} P = P P^{\dagger} = I
\]
が示されるので、行列\(A\)はユニタリー行列\(P\)によって
\[
P^{-1} A P =
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{array}
\right)
\]
となる事が分かる。
ここで与えられている行列\(A\)は
\[
A^{*} = A
\]
を満たす。このような行列をエルミート行列と言う。
一般にエルミート行列の固有値は全て実数であり、さらにユニタリー行列により対角化することが出来る。
