数列の極限｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

正の整数 $n$ に対して、 $a_{n}$ を次のように定義する。
$a_{n} = \sum_{k + l = n} \frac{1}{(k + 1) (l + 1)}$
ここに、 $k, l$ は和が $n$ になるような $0$ または正の整数の組全体にわたる。
この時、次の問いに答えよ。

(1) 数列 ${a_{n}}$ は単調に減少することを証明せよ。

(2) $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

(1) まず下の関係式が成り立つことに注意する。

\begin{aligned} \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1} & = \frac{k + l + 2}{(k + 1) (l + 1)} \\ = \frac{n + 2}{(k + 1) (l + 1)} \end{aligned}

そうすると

a_{n}

は

\begin{aligned} a_{n} & = \sum_{k + l = n} \frac{1}{(k + 1) (l + 1)} \\ = \frac{1}{n + 2} \sum_{k + l = n} (\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1}) \\ = \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} \end{aligned}

と書ける。そうすると

\begin{aligned} a_{n} - a_{n + 1} & = \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} - \frac{2}{n + 3} \sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{1}{k + 1} \\ = (\frac{2}{n + 2} - \frac{2}{n + 3}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} - \frac{2}{(n + 3) (n + 2)} \\ = \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} - \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \\ = \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} > 0 \end{aligned}

となり、

{a_{n}}

は単調減少することが示された。

(2) $a_{n}$ の大きさを積分で評価する。すなわち
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} & < 1 + \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x \\ = 1 + \log (n + 1) \end{aligned}$
が成り立つので
$\begin{aligned} 0 < a_{n} & = \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} \\ < \frac{2}{n + 2} (1 + \log (n + 1)) \end{aligned}$
最後の項は $n \to \infty$ で $0$ に収束するので
$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$
と求まる。