電磁ポテンシャル(ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル)｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

次の電場 $\vec{E} (\vec{x}, t)$ と磁場 $\vec{B} (\vec{x}, t)$ についての関係式が同値であることを示せ。
$\begin{aligned} d i v \vec{B} (\vec{x}, t) = 0 & , r o t \vec{E} (\vec{x}, t) + \frac{\partial \vec{B} (\vec{x}, t)}{\partial t} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \\ \vec{B} (\vec{x}, t) = r o t \vec{A} (\vec{x}, t) & , \vec{E} (\vec{x}, t) = - \frac{\partial \vec{A} (\vec{x}, t)}{\partial t} - g r a d ϕ (\vec{x}, t) \\ を満たす \vec{A} (\vec{x}, t), ϕ (\vec{x}, t) が存在する \end{aligned}$
このような $\vec{A} (\vec{x}, t)$ をベクトルポテンシャル、 $ϕ (\vec{x}, t)$ をスカラーポテンシャルと言い、2つを合わせて電磁ポテンシャルと言う。

(\Leftarrow)

\begin{aligned} \vec{B} (\vec{x}, t) & = r o t \vec{A} (\vec{x}, t) \\ \vec{E} (\vec{x}, t) & = - \frac{\partial \vec{A} (\vec{x}, t)}{\partial t} - g r a d ϕ (\vec{x}, t) \end{aligned}

とすると、

\begin{aligned} d i v \vec{B} (\vec{x}, t) & = d i v r o t \vec{A} (\vec{x}, t) = 0 \\ r o t \vec{E} (\vec{x}, t) + \frac{\partial \vec{B} (\vec{x}, t)}{\partial t} & = r o t (- \frac{\partial \vec{A} (\vec{x}, t)}{\partial t} - g r a d ϕ (\vec{x}, t) + \frac{\partial}{\partial t} r o t \vec{A} (\vec{x}, t)) \\ = - r o t g r a d ϕ (\vec{x}, t) = 0 \end{aligned}

が示される。ここに、以前の記事の結果を使った。

$(\Rightarrow)$

$d i v \vec{B} (\vec{x}, t) = 0$
から、あるベクトル場 $\vec{A} (\vec{x}, t)$ が存在して
$\vec{B} (\vec{x}, t) = r o t \vec{A} (\vec{x}, t)$
を満たすことが、以前の記事の結果から言える。

さらに、この結果を用いて
$r o t \vec{E} (\vec{x}, t) + \frac{\partial \vec{B} (\vec{x}, t)}{\partial t} = \vec{0}$
から
$r o t (\vec{E} (\vec{x}, t) + \frac{\partial \vec{A} (\vec{x}, t)}{\partial t}) = \vec{0}$
となるが、ここでも以前の記事の結果から、あるスカラー場 $ϕ (\vec{x}, t)$ が存在して
$\vec{E} (\vec{x}, t) + \frac{\partial \vec{A} (\vec{x}, t)}{\partial t} = - g r a d ϕ (\vec{x}, t)$
を満たすことが言える。