準基底

(1) $\Rightarrow$ (2)

$f$ が連続であるとする。
このとき、$O\in \mathfrak{M}$ とすると、$O$ は $Y$ の開集合である。
従って、$f^{-1}(O)$ は $X$ において開集合となり、$f^{-1}(O)\in {\mathfrak{D}}_X$ が成り立つ。

(1) $\Leftarrow$ (2)

$\mathrm{\forall }O\in \mathfrak{M},f^{-1}(O)\in {\mathfrak{D}}_X$ とする。
このとき
$$\begin{array}{r}\mathfrak{D}=\{A\subset Y|f^{-1}(A)\in {\mathfrak{D}}_X\}\end{array}$$
と定めると、$\mathfrak{D}$ が $Y$ の位相となることが以下のようにして分かる。

まず、$f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$ と $f^{-1}(Y)=X$ より、$\mathrm{\varnothing },Y\in \mathfrak{D}$ が言える。

さらに、$A_1,A_2\in \mathfrak{D}$ とするとき、$f^{-1}(A_1),f^{-1}(A_2)\in {\mathfrak{D}}_X$ であるので
$$\begin{array}{r}{f}^{-1}(A_1\cap A_2)=f^{-1}(A_1)\cap f^{-1}(A_2)\in {\mathfrak{D}}_X\end{array}$$
となり、$A_1\cap A_2\in \mathfrak{D}$ となる。

最後に、$(A_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を $\mathfrak{D}$ の元からなら集合族とすると、$f^{-1}(A_{\lambda })\in {\mathfrak{D}}_X$ であるので
$$\begin{array}{r}{f}^{-1}\left(\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }\right)=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{f}^{-1}(A_{\lambda })\in {\mathfrak{D}}_X\end{array}$$
が成り立つ。

以上より、$\mathfrak{D}$ は $Y$ の位相となる。

ここで、$\mathfrak{M}\subset \mathfrak{D}$ であるので、${\mathfrak{D}}_Y=\mathfrak{M}\subset \mathfrak{D}$ であり、$f$ は連続であることが分かる。

以上の議論より、(1), (2) は同値であることが分かる。