位相空間上の連続関数

$\mathrm{\forall }a\in X$ に対して、$U$ を $(f+g)(a)$ の近傍とする。
このとき、$\mathrm{\exists }ϵ>0,B((f+g)(a);ϵ)\subset U$ となる。

さらに、
$$\begin{array}{rl}{O}_1& =f^{-1}(B(f(a);\frac{ϵ}{2})\end{array}$$
と置くと、$f$ は $a$ で連続であるので、$O_1$ は $a$ を含む $X$ の開集合であることが分かる。

同様に
$$\begin{array}{rl}{O}_2& =g^{-1}(B(g(a);\frac{ϵ}{2})\end{array}$$
とおくと、$O_2$ は $a$ を含む $X$ の開集合であることが分かる。

ここで、$x\in O_1\cap O_2$ とすると
$$\begin{array}{rl}|(f+g)(x)–(f+g)(a)|& =|f(x)+g(x)–f(a)–g(a)|\\ & =|(f(x)–f(a))+(g(x)–g(a))|\\ & \le |f(x)–f(a)|+|g(x)–g(a)|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ\end{array}$$
が成り立つ。すなわち $x\in (f+g{)}^{-1}(B((f+g)(a);ϵ)$ が成り立つ。

従って
$$\begin{array}{r}{O}_1\cap O_2\subset (f+g{)}^{-1}(B((f+g)(a);ϵ)\subset (f+g{)}^{-1}(U)\end{array}$$
が成り立つ。つまり
$$\begin{array}{r}{O}_1\cap O_2\subset (f+g{)}^{-1}(U)\end{array}$$
が成り立つ。ここで、$O_1\cap O_2$ は $a$ を含む $X$ の開集合であるので、 $(f+g{)}^{-1}(U)$ は $a$ の近傍となる。

従って、$f+g$ は $a$ で連続となる。すなわち、$f+g\in C(X)$ が成り立つ。