$ϵ-\delta$論法と$ϵ-N$論法

写像$f$が任意の$(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$において連続写像である事は、次の2つの条件が成り立つことである。$$

(a) $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,f(B((x_0,y_0);\delta ))\subset B(f(x_0,y_0);ϵ)$

(b) $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,B((x_0,y_0);\delta )\subset f^{-1}(B(f(x_0,y_0);ϵ)$

まず、(A)から示す。($f(x,y)=(3y–4,4x+8)$なる写像は、$x,y$を入れ替えて、さらに$x$方向に3倍、$y$方向に4倍して、その後、$x$方向に-4、$y$方向に8平行移動するので、この写像で距離が変わるのは、$x$方向に3倍、$y$方向に4倍する時のみであることに注意して$ϵ$対する$\delta$を決める。）

$\mathrm{\forall }ϵ>0$に対して$\delta =ϵ/4$とする。
この時、$(x,y)\in B((x_0,y_0);\delta )=B((x_0,y_0);ϵ/4)$なる$(x,y)$をとると、$f(x,y)=(3y–4,4x+8)$と$f(x_0,y_0)=(3y_0–4,4x_0+8)$とに注意すると
$$\begin{array}{rl}d(f(x,y),(x_0,y_0))& =d((3y–4,4x+8),(3y_0–4,4x_0+8))\\ & =\sqrt{(3(y–y_0){)}^2+(4(x–x_0){)}^2}\\ & =4\sqrt{(3/4{)}^2(y–y_0{)}^2+(x–x_0{)}^2}\\ & <4\sqrt{(y–y_0{)}^2+(x–x_0{)}^2}\\ & =4d((x,y),(x_0,y_0))\end{array}$$
が言える。
従って、$\mathrm{\forall }(x,y)\in f(B((x_0,y_0);ϵ/4)$に対して$d(f(x,y),(x_0,y_0))<ϵ$となる。
つまり、$(x,y)\in B(f(x_0,y_0);ϵ)$となり、(a)が示された。$$

次に(b)を示すには、$f^{-1}(x,y)=(\frac{1}{4}y–\frac{8}{4},\frac{1}{3}x+\frac{4}{3})$に注意すれば、(a)の証明と同様にして、今回は$\delta =3ϵ$と選べば良い。

従って、$f$が連続写像であることが示された。$$

(2) 点列$\left\{p_n\right\}$は$(-2,1)$に収束すると考えられるので、示すべき命題は
$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N,n>N\to d(p_n,(-2,1))<ϵ$$
である。ここで
$$\begin{array}{rl}d(p_n,(-2,1))& =d((\frac{4}{n}–2,1+\frac{4}{n^2}),(-2,1))\\ & =\sqrt{(\frac{4}{n}{)}^2+(\frac{4}{n^2}{)}^2}\\ & =4\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}\\ & \le 4\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}\text{なぜなら、}n\in \mathbb{N}\\ & =4\frac{\sqrt{2}}{n}\\ & <\frac{8}{n}\end{array}$$
に注意すれば、$N$として$N>\frac{8}{ϵ}$を満たす自然数$N$を取れば
$$\frac{8}{N}<ϵ$$
となるので、$n>N$なる$n$に対して
$$d(p_n,(-2,1))<ϵ$$
となり、$ϵ-N$論法により、点列$\left\{p_n\right\}$は$(-2,1)$に収束することが示される。