3次元図形の2次モーメントの計算

(2) 球の重心は明らかに球の中心であるので、球の中心を原点にとり、極座標で計算を行う。半径$l$の球を考えた時、その体積は$\frac{4}{3}\pi r^3$に注意して、2次モーメント$M$は
$$\begin{array}{rl}M& =\int \int \int (x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z/\left(3{\left(\frac{4}{3}\pi l^3\right)}^{\frac{5}{3}}\right)\\ & ={\int }_0^r{r}^2{r}^2\mathrm{d}r{\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi /\left(3{\left(\frac{4}{3}\pi l^3\right)}^{\frac{5}{3}}\right)\\ & ={\left[\frac{1}{5}{r}^5\right]}_0^r\cdot {[-\cos \theta ]}_0^{\pi }\cdot {\left[\varphi \right]}_0^{2\pi }/\left(3{\left(\frac{4}{3}\pi l^3\right)}^{\frac{5}{3}}\right)\\ & =\frac{1}{5}{\left(\frac{3}{4\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}\end{array}$$
と求まる。

(3) 正八面体の重心は明らかに正八面体の中心であるので、正八面体の中心を原点にとる。一辺の長さが$l$の正八面体を考え、正八面体の中心を通る面で正八面体の断面が一辺の長さが$l$の正方形となる面に$x-y$平面をとり、その正八面体の断面の正方形の各頂点が$\pm \frac{l}{\sqrt{2}},0,0),(0,\pm \frac{l}{\sqrt{2}},0)$となるように$x$軸と$y$軸をとる。

$x\leftrightarrow -x,y\leftrightarrow -y,z\leftrightarrow -z$の入れ替えに対して被積分関数も積分領域も対称なので、$x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$において計算し、8倍すれば良い。

また、$x-y$平面における積分領域は$0\le x\le \frac{l}{\sqrt{2}},0\le y\le \frac{l}{\sqrt{2}}–x$であり、$z$に関しては、正八面体のこの領域での方程式が$x+y+z=\frac{l}{\sqrt{2}}$となることから、$0\le z\le \frac{l}{\sqrt{2}}–x–y$となる。

従って、求めるべき2次モーメント$M$は、正六面体の体積が$v=\frac{\sqrt{2}}{3}{l}^3$となることに注意して
$$\begin{array}{rl}M& =8{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}–x}\mathrm{d}y{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}–x–y}\mathrm{d}z(x^2+y^2+z^2)/(3v^{\frac{5}{3}})\\ & =8{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}–x}\mathrm{d}y\{(x^2+y^2)\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x–y\right)+\frac{1}{3}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x–y\right)}^3\}/(3v^{\frac{5}{3}})\\ & =8{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}–x}\mathrm{d}y\{-\frac{4}{3}{y}^3+2\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)y^2–(x^2+{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)}^2)y\\ & +\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)(x^2+\frac{1}{3}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)}^2)\}/(3v^{\frac{5}{3}})\\ & =8{\int }_0^{\frac{l}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}x\{\frac{2}{3}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)}^4–\frac{\sqrt{2}}{2}l{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)}^3+\frac{l^2}{4}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}–x\right)}^2\}/(3v^{\frac{5}{3}})\\ & =8\{\frac{2}{3}\frac{1}{5}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)}^5–\frac{l}{4\sqrt{2}}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)}^4+\frac{l^2}{12}{\left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)}^3\}/(3v^{\frac{5}{3}})\\ & =\frac{1}{20}{\left(\frac{9}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}\end{array}$$
と求まる。