重積分の計算｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$x y$ 平面における領域 $D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 2 y, x \geq 0}$ に対して、次の重積分を計算せよ。
$\int \int_{D} x y^{2} d x d y$

領域

D

は次のようにして、極座標表示で表すと

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} & \leq 2 y \\ x^{2} + (y - 1)^{2} & \leq 1 \end{aligned}

となるので

\begin{aligned} x & = r \cos θ \\ y & = 1 + r \sin θ \end{aligned}

として

\begin{aligned} 0 \leq & r \leq 1 \\ - \frac{π}{2} \leq & θ \leq \frac{π}{2} \end{aligned}

なる領域と表すことが出来る。従って、求めるべき重積分は

\begin{aligned} \int \int_{D} x y^{2} d x d y & = \int_{0}^{1} r d r \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ r \cos θ (1 + r \sin θ)^{2} \\ = \int_{0}^{1} r d r \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ r \cos θ (1 + 2 r \sin θ + r^{2} \sin^{2} θ) \end{aligned}

と変形出来るが、ここで

\begin{aligned} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \cos θ & = {[\sin θ]}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = 2 \\ \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \cos θ \sin θ & = {[\frac{1}{2} \sin^{2} θ]}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = 0 \\ \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \cos θ \sin^{2} θ & = {[\frac{1}{3} \sin^{3} θ]}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = \frac{2}{3} \\ \int_{0}^{1} r^{2} d r & = \frac{1}{3} \\ \int_{0}^{1} r^{4} d r & = \frac{1}{5} \end{aligned}

に注意すれば、求めるべき重積分の値は

\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5}

と求まる。

Jacobian を考慮して
$d x d y = r d r d θ$
となることに注意する必要がある。

重積分の計算