連立微分方程式｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$t$ を独立変数とする連立微分方程式
$\frac{d x}{y + z} = \frac{d y}{z + x} = \frac{d z}{x + y} = d t$
について、次の問いに答えよ。

(1) 上の連立微分方程式の解で、 $t = 0$ のとき $x (0) = - 1, y (0) = 0, z (0) = 2$ であるものを求めよ。

(2) (1)で求めた解について、 $x (t) = 0$ となる $t$ の値、および $z (t)$ が $t \geq 0$ における最小値をとる $t$ の値をそれぞれ求めよ。

(1) 与えられた微分方程式を分けて書くと

\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & = y + z \\ \frac{d y}{d t} & = z + x \\ \frac{d z}{d t} & = x + y \end{aligned}

となる。この3式を全て足し合わせると

\frac{d}{d t} (x + y + z) = 2 (x + y + z)

となる。この微分方程式の解は

C

を定数として

x (t) + y (t) + z (t) = C e^{2 t}

と書ける。

t = 0

における条件

x (0) + y (0) + z (0) = - 1 + 0 + 2 = 1

から

C = 1

と求まる。すなわち

x (t) + y (t) + z (t) = e^{2 t}

となる。

この解を使えば、 $x$ に関する微分方程式は
$\frac{d x}{d t} = y + z = - x (t) + e^{2 t}$
となる。この微分方程式の解を定数変化法で解く。
$x (t) = C_{x} (t) e^{- t}$
とおくと
$\frac{d x}{d t} = (\frac{d}{d t} C_{x} (t)) e^{- t} - C_{x} (t) e^{- t}$
より、 $C_{x} (t)$ を決める微分方程式は
$\frac{d}{d t} C_{x} (t) = e^{3 t}$
と求まる。 $x (0) = - 1$ なる初期条件は $C_{x} (0) = - 1$ を意味するので
$C_{x} (t) = \frac{1}{3} e^{3 t} - \frac{4}{3}$
となり、結局
$x (t) = (\frac{1}{3} e^{3 t} - \frac{4}{3}) e^{- t} = \frac{1}{3} e^{2 t} - \frac{4}{3} e^{- t}$
と求まる。

同様に $y (t)$ を決める微分方程式
$\frac{d y}{d t} = z + x = - y (t) + e^{2 t}$
に対して
$y (t) = C_{y} (t) e^{- t}$
とすると、 $C_{y} (t)$ を決める微分方程式は
$\frac{d}{d t} C_{y} (t) = e^{3 t}$
であり、初期条件 $y (0) = 0$ から $C_{y} (0) = 0$ となるように積分定数を選ぶと
$C_{y} (t) = \frac{1}{3} e^{3 t} - \frac{1}{3}$
となる。従って
$y (t) = \frac{1}{3} e^{2 t} - \frac{1}{3} e^{- t}$
と求まる。

$z (t)$ に対しても同様にして
$\frac{d z}{d t} = x + y = - z (t) + e^{2 t}$
から、
$z (t) = C_{z} (t) e^{- t}$
とおいて、初期条件 $z (0) = 2$ が $C_{z} (0) = 2$ となる事に注意すれば
$C_{z} (t) = \frac{1}{3} e^{3 t} + \frac{5}{3}$
となるので
$z (t) = \frac{1}{3} e^{2 t} + \frac{5}{3} e^{- t}$
と求まる。

(2)
$x (t) = \frac{1}{3} e^{2 t} - \frac{4}{3} e^{- t} = 0$
を解けば
$t = \frac{2}{3} \log 2$
と求まる。

$z (t) = \frac{1}{3} e^{2 t} + \frac{5}{3} e^{- t}$
において、 $t$ で微分することにより
$z^{'} (t) = \frac{2}{3} e^{2 t} - \frac{5}{3} e^{- t}$
が得られる。 $z^{'} (t) = 0$ となる $t$ を求めると
$t = \frac{1}{3} \log \frac{5}{2}$
となり、 $t \geq 0$ において増減表を書くと
$\begin{array}{ccccc} t & 0 & \dots & \frac{1}{3} \log \frac{5}{2} & \dots \\ z^{'} (t) & - & 0 & + \\ z (t) & 2 \end{array}$
となるので、 $t \geq 0$ における $z (t)$ の最小値は
$t = \frac{1}{3} \log \frac{5}{2}$
の時であると分かる。