表面積の計算

球面によって切り取られる上下の$z$座標を求めると、この側面のパラメータ表示を球面の方程式に代入して
$$\begin{array}{rl}{z}^2& =4–(2–a+a\cos \theta {)}^2–(a\sin \theta {)}^2\\ & =2a(2–a)(1–\cos \theta )\\ & =4a(2–a){\sin }^2\frac{\theta }{2}\\ z& =\pi 2\sqrt{a(2–a)}\sin \frac{\theta }{2}\end{array}$$
と求まる。

従って、球面内部にある円柱側面の面積$S(a)$は
$$\begin{array}{rl}S(a)& =2{\int }_0^{2\pi }\sqrt{2a(2–a)}\sin \frac{\theta }{2}a\mathrm{d}\theta \\ & =4\sqrt{a^3(2–a)}{[-2\cos \frac{\theta }{2}]}_0^{2\pi }\\ & =16\sqrt{a^3(2–a)}\end{array}$$
と求まる。

ここで、$S(a)$の最大値を求める為に相加相乗平均の関係を用いる。すなわち
$${(\frac{a}{3}\cdot \frac{a}{3}\cdot \frac{a}{3}\cdot (2–a))}^{\frac{1}{4}}\le \frac{\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+\frac{a}{3}+(2–a)}{4}=\frac{1}{2}$$
から
$$\sqrt{a^3(2–a)}\le \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
が導かれる。ここに等号成立は$a=\frac{3}{2}$の時であり、$0<a<2$ の範囲内にある。したがって、
$$S(a)\le 12\sqrt{3}$$
となり、$S(a)$の最大値は$12\sqrt{3}$と求まる。