積分方程式と微分方程式｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$x \geq 0$ において定義されたなめらかな曲線 $y = f (x)$ （ただし、 $f (x) > 0$ で定数でない）があり、 $f (0) = 1$ を満たしている。定数 $a \geq 0$ に対して、曲線の $0 \leq x \leq a$ の部分、 $x$ 軸、 $y$ 軸および直線 $x = a$ で囲まれた部分の面積を $S (a)$ とする。また、曲線 $0 \leq x \leq a$ の部分の長さを $l (a)$ とする。
この曲線があらゆる $a \geq 0$ に対して $S (a) = l (a)$ を満たすとき、 $f (x)$ を求めよ。

S (a), l (a)

を各々、

y = f (x)

を使って表すと

\begin{aligned} S (a) & = \int_{0}^{a} y d x \\ l (a) & = \int_{0}^{a} \sqrt{1 + (y^{'})^{2}} d x \end{aligned}

であるので、求められている条件は

\begin{aligned} S (a) & = l (a) \\ \int_{0}^{a} y d x & = \int_{0}^{a} \sqrt{1 + (y^{'})^{2}} d x \end{aligned}

である。任意の

a \geq 0

なる

a

について上の関係を満たすための必要十分条件は

y = \sqrt{1 + (y^{'})^{2}}

であるので、この微分方程式の解を見付ければ良い。

\begin{aligned} y^{2} & = 1 + (y^{'})^{2} \\ y^{2} - 1 & = (y^{'})^{2} \\ 1 - y^{2} & = {(i \frac{d y}{d x})}^{2} \\ \pm \sqrt{1 - y^{2}} & = i \frac{d y}{d x} \\ i d x & = \pm \frac{d y}{\sqrt{1 - y^{2}}} \\ i x + C & = \pm \sin^{- 1} y \end{aligned}

ここに、

C

は積分定数であり、条件

x = 0

のとき

y = 1

から

\begin{aligned} C & = \pm \sin^{- 1} 1 \\ = \pm \frac{π}{2} \end{aligned}

と求まる。従って

\begin{aligned} i x \pm \frac{π}{2} & = \sin^{- 1} y \\ y & = \sin (i x \pm \frac{π}{2}) \\ = \frac{e^{i (i x \pm π / 2)} - e^{- i (i x \pm π / 2)}}{2 i} \\ = \frac{e^{- x} (\pm i) - e^{x} (\mp i)}{2 i} \\ = \pm \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \end{aligned}

ここに複合同順である。今、

y = f (x) > 0

であるので、

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

と求まる。

積分方程式と微分方程式

2変数関数の極値

Cauchy-Schwarz(コーシー-シュワルツ)の不等式

極限の計算

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