極限の計算｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

ある実数 $λ$ に対して
$lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x - λ x^{3}}{x^{5}}$
が有限な値であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $λ$ の値を求めよ。

(2) 極限値を求めよ。

(1) 与えられた式を以下のように変形する。

\frac{\tan x - x - λ x^{3}}{x^{5}} = \frac{\sin x - x \cos x - λ x^{3} \cos x}{x^{5} \cos x}

ここで、

\sin x, \cos x

の Taylor 展開は

\begin{aligned} \sin x & = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots \\ \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots \end{aligned}

であるので、これを代入すると

\frac{(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots) - x (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots) - λ x^{3} (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots)}{x^{5} (1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots)}

となる。
分子の

x^{1}

の項はキャンセルし、さらに

x^{3}

の項もキャンセルしないと、

x \to 0

で収束しない。
従って、

x \to 0

で有限な極限値を持つためには

- \frac{1}{3!} + \frac{1}{2!} - λ = 0

となる必要がある。
この式より

λ = \frac{1}{3}

と求まる。

(2) 次に、分子の $x^{5}$ の項の係数が求める極限値となるので
$\frac{1}{5!} - \frac{1}{4!} + λ \frac{1}{2!} = \frac{2}{15}$
が求める極限値となる。

ロピタルの定理を使っても、もちろん答えを導き出すことが出来るが、 $\tan x$ の5次導関数まで求める必要があり、計算がかなり煩雑になるために、このように、良く知っている関数の Taylor 展開を用いると計算が簡単になる。

極限の計算