正の整数\(n\)に対して、\(a_n\)を次のように定義する。
\[
a_n = \sum_{k + l = n} \frac{1}{(k + 1)(l + 1)}
\]
ここに、\(k, l\)は和が\(n\)になるような\(0\)または正の整数の組全体にわたる。
この時、次の問いに答えよ。
(1) 数列\(\left\{a_n\right\}\)は単調に減少することを証明せよ。
(2) \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} a_n \)を求めよ。
(1) まず下の関係式が成り立つことに注意する。
\[\begin{align}
\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1} &= \frac{k + l + 2}{(k + 1) (l + 1)} \\
&= \frac{n + 2}{(k + 1) (l + 1)}
\end{align}\]
そうすると\(a_n\)は
\[\begin{align}
a_n &= \sum_{k + l = n} \frac{1}{(k + 1)(l + 1)} \\
&= \frac{1}{n + 2} \sum_{k + l = n} \left(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1}\right) \\
&= \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1}
\end{align}\]
と書ける。そうすると
\[\begin{align}
a_n – a_{n + 1} &= \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{n + 3} \sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{1}{k + 1} \\
&= \left(\frac{2}{n + 2} – \frac{2}{n + 3} \right) \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{(n + 3) (n + 2)} \\
&= \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \\
&= \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} > 0
\end{align}\]
となり、\(\left\{a_n\right\}\)は単調減少することが示された。
\[\begin{align}
\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1} &= \frac{k + l + 2}{(k + 1) (l + 1)} \\
&= \frac{n + 2}{(k + 1) (l + 1)}
\end{align}\]
そうすると\(a_n\)は
\[\begin{align}
a_n &= \sum_{k + l = n} \frac{1}{(k + 1)(l + 1)} \\
&= \frac{1}{n + 2} \sum_{k + l = n} \left(\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{l + 1}\right) \\
&= \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1}
\end{align}\]
と書ける。そうすると
\[\begin{align}
a_n – a_{n + 1} &= \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{n + 3} \sum_{k = 0}^{n + 1} \frac{1}{k + 1} \\
&= \left(\frac{2}{n + 2} – \frac{2}{n + 3} \right) \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{(n + 3) (n + 2)} \\
&= \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} – \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \\
&= \frac{2}{(n + 2) (n + 3)} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} > 0
\end{align}\]
となり、\(\left\{a_n\right\}\)は単調減少することが示された。
(2) \(a_n\)の大きさを積分で評価する。すなわち
\[\begin{align}
\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} &< 1 + \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} {\rm d} x \\
&= 1 + \log(n + 1)
\end{align}\]
が成り立つので
\[\begin{align}
0 < a_n &= \frac{2}{n + 2} \sum_{k = 0}^n \\
&< \frac{2}{n + 2} \left(1 + \log(n + 1) \right)
\end{align}\]
最後の項は\(n \to \infty\)で\(0\)に収束するので
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = 0
\]
と求まる。
