接平面・テイラー展開・逆関数・微分方程式・重積分｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

以下の問いに答えよ。ただし、 $x, y, z, t, k$ は実数であるとする。

(1) 関数 $f (x, y) = x^{3} + y^{2} - x y$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めよ。また、曲面 $z = f (x, y)$ の $(x, y, z) = (1, 2, f (1, 2))$ における接平面の方程式を求めよ。

(2) 関数 $h (x) = \exp {\exp (2 x) - 1}$ を $x = 0$ のまわりで1次の項までテイラー展開せよ。また、極限
$a = lim_{x \to 0} \frac{1 - h (x)}{x^{k}}$
が存在し、 $0 < | a | < \infty$ を満たすとき、 $k$ と $a$ の値を求めよ。

(3) 関数 $\cos^{- 1}$ は $\cos$ の逆関数で、 $\cos^{- 1}$ の定義域と値域は、それぞれ $[- 1, 1]$ と $[0, π]$ であるとする。曲線 $y = \cos^{- 1} (x + \frac{1}{2})$ を描け。また、この曲線と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる領域の面積を求めよ。

(4) 実関数 $g (t)$ が満たす次の微分方程式の一般解を求めよ。
$\frac{d^{2} g}{d t^{2}} + \frac{d g}{d t} + \sin t = 0$
また、初期値 $g (0) = 2, \frac{d g}{d t} (0) = 0$ に対する特解を求めよ。

(5) $D = {(x, y) | 0 \leq 2 x - y \leq 1, 0 \leq x + 3 y \leq 2}$ とする。
変数変換 $u = 2 x - y, v = x + 3 y$ を用いて、次の重積分の値を求めよ。
$\int \int_{D} \frac{(2 x - y)^{3}}{4 + (x + 3 y)^{2}} d x d y$

(1)

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = 3 x^{2} - y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = 2 y - x \end{aligned}

これらを使って
$\begin{aligned} d f (x, y) & = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y \\ = (3 x^{2} - y) d x + (2 y - x) d y \end{aligned}$
となるので、 $(1, 2, f (1, 2)$ における曲面 $z = f (x, y)$ の接ベクトルは
$\begin{aligned} \vec{u} & = (1, 0, 3 \cdot 1^{2} - 2) = (1, 0, 1) \\ \vec{v} & = (0, 1, 2 \cdot 2 - 1) = (0, 1, 3) \end{aligned}$
と求まる。これら2つの接ベクトルに直交するベクトルは2つのベクトルの外積から求める事が出来て
$\vec{u} \times \vec{v} = (- 1, - 3, 1)$
となるので、求める接平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は
$\vec{n} = (1, 3, - 1)$
と選ぶことが出来る。従って、求める接平面の方程式は
$\begin{aligned} 1 \cdot (x - 1) + 3 (y - 2) - 1 \cdot (z - f (1, 2)) & = 0 \\ x + 3 y - z & = 4 \end{aligned}$
と求まる。

(2)
$\begin{aligned} h (x) & = \exp [\exp (2 x) - 1] \\ h (0) & = 1 \\ h^{'} (x) & = \exp [\exp (2 x) - 1] \times \exp (2 x) \times 2 \\ h^{'} (0) & = 1 \times 1 \times 2 = 2 \end{aligned}$

従って、
$h (x) = 1 + 2 x + O (x^{2})$
とテイラー展開することが出来る。この結果を用いると
$lim_{x \to 0} \frac{1 - h (x)}{x^{k}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + 2 x + O (x^{2}))}{x^{k}} = lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + O (x^{2})}{x^{k}}$
となり、 $0 < | a | < \infty$ となるには、 $k = 1$ であり、その時 $a = - 2$ である。

(3)

図は省略する。

求める面積は
$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos^{- 1} x d x & = [x \cdot \cos^{- 1} x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cdot (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x \\ = \frac{1}{2} \cos^{- 1} \frac{1}{2} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x \\ = \frac{π}{6} + [- (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \end{aligned}$
となる。

(4)
先ずは
$\frac{d^{2} g}{d t^{2}} + \frac{d g}{d t} = 0$
なる微分方程式を解く。一回積分すると積分定数を $C_{1}$ として
$\frac{d g}{d t} + g = C_{1}$
となり、この解は $C_{2}$ を積分定数として
$g (t) = C_{2} e^{- t} + C_{1}$
となる。

次に
$\frac{d^{2} g}{d t^{2}} + \frac{d g}{d t} + \sin t = 0$
の解を求める。
$g (t)$ を下の式でフーリエ変換する。
$g (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int \hat{g} (ω) e^{i ω t} d ω$
$\sin t$ は
$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int \frac{\sqrt{2 π}}{2 i} (δ (ω - 1) - δ (ω + 1)) e^{i ω t} d ω$
であるので、解くべき微分方程式は
$(- ω^{2} + i ω) \hat{g} (ω) = - \frac{\sqrt{2 π}}{2 i} (δ (ω - 1) - δ (ω + 1))$
となり、これから $\hat{g} (ω)$ を求めて、 $g (t)$ に変換すると
$\begin{aligned} \hat{g} (ω) & = - \frac{\sqrt{2 π}}{2 i} \frac{δ (ω - 1) + δ (ω + 1)}{(- ω^{2} + i ω} \\ g (t) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int \hat{g} (ω) e^{i ω t} \\ = \frac{1}{2 i} \int \frac{δ (ω - 1) - δ (ω + 1)}{ω^{2} - i ω} \\ = \frac{1}{2 i} (\frac{e^{i t}}{1 - i} - \frac{e^{- i t}}{1 + i}) \\ = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{2} \cos t \end{aligned}$
となる。

従って、一般解は
$g (t) = C_{2} e^{- t} + C_{1} + \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{2} \cos t$
となる。

また $g (0), g^{'} (0)$ を計算して
$\begin{aligned} g (0) & = C_{2} + C_{1} + \frac{1}{2} = 2 \\ g^{'} (0) & = - C_{2} + \frac{1}{2} = 0 \end{aligned}$
より、初期値 $g (0) = 2, g^{'} (0) = 0$ なる解は
$\begin{aligned} C_{1} & = 1 \\ C_{2} & = \frac{1}{2} \end{aligned}$
となり
$g (t) = \frac{1}{2} e^{- t} + 1 + \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{2} \cos t$
と求まる。

(5)
$\begin{aligned} u & = 2 x - y \\ v & = x + 3 y \end{aligned}$
を逆に $x, y$ について解くと
$\begin{aligned} x & = \frac{3}{7} u + \frac{1}{7} v \\ y & = - \frac{1}{7} u + \frac{2}{7} v \end{aligned}$
となるので、Jacbian $J$ は
$\begin{aligned} J & = \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \\ = \begin{array}{cc} \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\ - \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{array} \\ = \frac{1}{7} \end{aligned}$
となる。従って、求める重積分は
$\begin{aligned} \int \int_{D} \frac{(2 x - y)^{3}}{4 + (x + 3 y)^{2}} d x d y & = \int_{0}^{1} d u \int_{0}^{2} d v \frac{u^{3}}{4 + v^{2}} \cdot \frac{1}{7} \\ = {[\frac{1}{4}]}_{0}^{1} \cdot \int_{0}^{2} \frac{1}{4} \frac{1}{1 + (\frac{v^{2}}{2})^{2}} \cdot \frac{1}{7} \\ = \frac{1}{4} \frac{1}{4} {2 \tan^{- 1} (\frac{v}{2})}_{0}^{2} \frac{1}{7} \\ = \frac{π}{224} \end{aligned}$
と求まる。