微分方程式｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

次の微分方程式の解のうち、初期条件「 $x = - 3$ のとき $y = 3$ 」を満たすものを求めよ。
$(2 x + y + 3) + (2 x + y + 6) \frac{d y}{d x} = 0$

z = 2 x + y

とおくと

\frac{d z}{d x} = 2 + \frac{d y}{d x}

から、解くべき微分方程式は

\begin{aligned} (z + 3) + (z + 6) (\frac{d z}{d x} - 2) & = 0 \\ (z + 6) \frac{d z}{d x} & = z + 9 \end{aligned}

と変形出来る。従って

\begin{aligned} \frac{z + 6}{z + 9} d z & = d x \\ (1 - 3 \frac{1}{z + 9}) d z & = d x \\ z - 3 \log (z + 9) & = x + C \end{aligned}

ここに

C

は積分定数である。

今、初期条件 $x = - 3$ のとき $y = 3$ を満たすものを求めるので、 $x = - 3$ のとき $z = - 3$ を代入して
$\begin{aligned} - 3 - 3 \log 6 & = - 3 + C \\ C & = - 3 \log 6 \end{aligned}$
と定まる。従って
$\begin{aligned} z - 3 \log (z + 9) & = x - 3 \log 6 \\ z - x & = 3 \log \frac{z + 9}{6} \\ e^{\frac{z - x}{3}} & = \frac{z + 9}{6} \\ 2 x + y + 9 & = 6 e^{\frac{x + y}{3}} \end{aligned}$
と求まる。