Taylor展開

(1)

$$\begin{array}{rcl}f(z)& =& \frac{1}{z^2}\\ f^{(1)}(z)& =& (-2)\frac{1}{z^3}\\ f^{(2)}(z)& =& (-2)(-3)\frac{1}{z^4}\\ f^{(3)}(z)& =& (-2)(-3)(-4)\frac{1}{z^5}\\ f^{(n)}(z)& =& (-1{)}^n(n+1)!\frac{1}{z^{n+2}}\end{array}$$
従って
$$\begin{array}{rcl}f(z)& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-1{)}^n(n+1)!\frac{1}{2^{n+2}}(z–2{)}^n\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{n+1}{2^{n+2}}(z–2{)}^n\end{array}$$
とテイラー展開出来る。なお、収束半径は$|z–2|<2$である。

(2)

$$\begin{array}{rcl}f(z)& =& \sin z\\ f^{(1)}(z)& =& \cos z\\ f^{(2)}(z)& =& –\sin z\\ f^{(3)}(z)& =& –\cos z\\ f^{(4)}(z)& =& \sin z\end{array}$$
であり、$z=\frac{\pi }{2}$では、$\cos \frac{\pi }{2}=0,\sin \frac{\pi }{2}=1$であるので
$$\begin{array}{rcl}{f}^{(2k)}(\frac{\pi }{2})& =& (-1{)}^k\end{array}$$
となる。従って
$$\begin{array}{rcl}f(z)& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{\left(z–\frac{\pi }{2}\right)}^{2n}\end{array}$$
とテイラー展開出来る。