複素積分の計算

被積分関数
$$\begin{array}{r}\frac{5}{z^2+1}\end{array}$$
の極は $z=\pm i$ であり、2つの極はどちらも位数が１の極である。

積分路 $C$ に含まれる極は $z=i$ であるので、この積分値を $I$ とすると留数定理により
$$\begin{array}{rl}I& =2\pi i\underset{z\to i}{lim}(z–i)\frac{5}{z^2+1}\\ & =5\pi \end{array}$$
と求まる。