3行３列の行列の逆行列｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

1 の３乗根の 1 でないものを $ω$ とするとき、次の行列 $Ω$ の逆行列を求めよ。
$\begin{aligned} Ω & = (\begin{array}{c} 1 & ω & ω^{2} \\ 1 & ω^{2} & ω \\ 1 & 1 & 1 \end{array}) \end{aligned}$

行列 $Ω$ の各列ベクトルを、各々 ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}$ とすると
$\begin{aligned} Ω & = ({\vec{a}}_{1} {\vec{a}}_{2} {\vec{a}}_{3}) \end{aligned}$
と表すことが出来る。

ここで、 $\overset{―}{ω} = ω^{2}, \overset{―}{ω^{2}} = ω$ に注意して、 $ω^{2} + ω + 1 = 0, ω^{3} = 1$ なる関係式が成り立つことに注意すると、3つのベクトル ${{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}}$ は互いに直交し、その大きさは全て 3 である。

実際に
$\begin{aligned} ({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}) & = ω + ω^{2} + 1 = 0 \\ ({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{3}) & = ω^{2} + ω + 1 = 0 \\ ({\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}) & = ω^{2} ω^{2} + ω ω + 1 = ω + ω^{2} + 1 = 0 \\ ({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{1}) & = 3 \\ ({\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{2}) & = ω^{3} + ω^{3} + 1 = 3 \\ ({\vec{a}}_{3}, {\vec{a}}_{3}) & = ω^{3} + ω^{3} + 1 = 3 \end{aligned}$
となる。

すなわち ${{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}}$ は直交系をなす。

従って、 $Ω^{'}$ として
$\begin{aligned} Ω^{'} & = (\begin{array}{c} {\vec{a}}_{1}^{†} \\ {\vec{a}}_{2}^{†} \\ {\vec{a}}_{3}^{†} \end{array}) \end{aligned}$
とすると
$\begin{aligned} Ω^{'} Ω & = (\begin{array}{c} {\vec{a}}_{1}^{†} \\ {\vec{a}}_{2}^{†} \\ {\vec{a}}_{3}^{†} \end{array}) (\begin{array}{c} {\vec{a}}_{1} {\vec{a}}_{2} {\vec{a}}_{3} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}) \end{aligned}$
となる。従って
$\begin{aligned} Ω^{- 1} & = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} {\vec{a}}_{1}^{†} \\ {\vec{a}}_{2}^{†} \\ {\vec{a}}_{3}^{†} \end{array}) \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ ω^{2} & ω & 1 \\ ω & ω^{2} & 1 \end{array}) \end{aligned}$
と求まる。