3行３列の行列の逆行列

行列 ${\mit \Omega}$ の各列ベクトルを、各々$\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3$ とすると
\begin{align}
{\mit \Omega} &= (\vec{a}_1 \vec{a}_2 \vec{a}_3)
\end{align}
と表すことが出来る。

ここで、$\overline{\omega} = \omega^2, \overline{\omega^2} = \omega$ に注意して、$\omega^2 + \omega + 1 = 0, \omega^3 = 1$ なる関係式が成り立つことに注意すると、3つのベクトル $\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\}$ は互いに直交し、その大きさは全て 3 である。

実際に
\begin{align}
(\vec{a}_1, \vec{a}_2) &= \omega + \omega^2 + 1 = 0 \\
(\vec{a}_1, \vec{a}_3) &= \omega^2 + \omega + 1 = 0 \\
(\vec{a}_2, \vec{a}_3) &= \omega^2 \omega^2 + \omega \omega + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0 \\
(\vec{a}_1, \vec{a}_1) &= 3 \\
(\vec{a}_2, \vec{a}_2) &= \omega^3 + \omega^3 + 1 = 3 \\
(\vec{a}_3, \vec{a}_3) &= \omega^3 + \omega^3 + 1 = 3
\end{align}
となる。

すなわち $\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\}$ は直交系をなす。

従って、${\mit \Omega’}$ として
\begin{align}
{\mit \Omega’} &=
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1^{\dagger} \\
\vec{a}_2^{\dagger} \\
\vec{a}_3^{\dagger} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
とすると
\begin{align}
{\mit \Omega’}{\mit \Omega} &=
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1^{\dagger} \\
\vec{a}_2^{\dagger} \\
\vec{a}_3^{\dagger} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \vec{a}_2 \vec{a}_3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
となる。従って
\begin{align}
{\mit \Omega}^{-1} &=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1^{\dagger} \\
\vec{a}_2^{\dagger} \\
\vec{a}_3^{\dagger} \\
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\omega^2 & \omega & 1 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
と求まる。