行列の$n$乗の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

2つの複素数 $ζ = e^{\frac{π i}{7}}, η = e^{\frac{2 π i}{35}}$ （ $i$ は虚数単位、 $e$ は自然対数の底）について、行列 $A$ を
$A = (\begin{array}{cccc} 0 & - ζ & 0 & 0 \\ ζ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - η \\ 0 & 0 & η & 0 \end{array})$
とするとき、 $A^{n}$ が4次単位行列となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

行列

A

は2つの2行2列の行列にブロック対角化されているので、各々の2行2列の行列について考える。

\begin{aligned} A_{1} & = (\begin{array}{cc} 0 & - ζ \\ ζ & 0 \end{array}) \\ A_{2} & = (\begin{array}{cc} 0 & - η \\ η & 0 \end{array}) \end{aligned}

とする。

\begin{aligned} A_{1}^{2} & = (\begin{array}{cc} - ζ^{2} & 0 \\ 0 & - ζ^{2} \end{array}) = - ζ^{2} E_{2} \\ A_{2}^{2} & = (\begin{array}{cc} - η^{2} & 0 \\ 0 & - η^{2} \end{array}) = - η^{2} E_{2} \end{aligned}

となる事に注意する。ここに

E_{2}

は2次の単位行列を表す。

これらの行列が2つともに $E_{2}$ になる時が $A^{n}$ が4次の単位行列となる時である。
そのような可能性があるのは $n$ が偶数の時であり、 $n \equiv 2 (mod 4)$ の時
$\begin{array}{r} A_{1}^{n} = - ζ^{n} E_{2} \\ A_{2}^{n} = - η^{n} E_{2} \end{array}$
となり、 $n \equiv 0 (mod 4)$ の時
$\begin{aligned} A_{1}^{n} & = ζ^{n} E_{2} \\ A_{2}^{n} & = η^{n} E_{2} \end{aligned}$
となる。

ここで、 $ζ = e^{\frac{π i}{7}}, η = e^{\frac{2 π i}{35}}$ において
$\begin{aligned} ζ^{n} & = e^{\frac{n π i}{7}} \\ η^{n} & = e^{\frac{2 n π i}{35}} \end{aligned}$
であるので、 $η^{n} = - 1$ となるような自然数 $n$ は存在しない。
すなわち、上で示した $n \equiv 2 (mod 4)$ で条件を満たすことはない。

従って、 $ζ^{n}, η^{n}$ が共に $1$ となるような $n$ が解の候補となる。
それは、 $ζ^{n}$ については $n$ が $14$ の倍数の時、 $η^{n}$ については $n$ が $35$ の倍数の時であり、同時にこの条件が成り立つのは $14$ と $35$ の最小公倍数 $70$ の倍数の時である。