行列
\[
A =
\left(
\begin{array}{cc}
7 & 4 \\
-9 & -5 \\
\end{array}
\right)
\]
について、\(n\)を自然数として
\[
A^n =
\left(
\begin{array}{cc}
1 + 6 n & 4 n \\
– 9 n & 1 – 6 n \\
\end{array}
\right)
\]
となる事を示せ。
\[
\det \left(
\begin{array}{cc}
7 – \lambda & 4 \\
-9 & -5 -\lambda \\
\end{array}
\right) = 0 \\
(\lambda – 1)^2 = 0
\]
となり、\(\lambda = 1\)で重根を持つ。
固有ベクトルは
\[
\left(
\begin{array}{cc}
6 & 4 \\
-9 & – 6\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \\
\end{array}
\right) = 0
\]
から、
\[
\vec{u} =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
\end{array}
\right)
\]
と選べる。
ここで
\[
(A – E)^2 =0
\]
なる式が成り立つことに注意すれば、任意のベクトル\(\vec{v}\)を取ってくれば
\[
(A – E) \vec{v}
\]
も固有値1の固有ベクトルである事が分かる。
例えば
\[
\vec{v} =
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
\end{array}
\right)
\]
と取れば、
\[
\left(
\begin{array}{cc}
6 & 4 \\
-9 & -6 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
\end{array}
\right)
\]
となり、実際に固有値1の固有ベクトルであることが分かる。
\[
(A – E) \vec{v} = \vec{u} \\
A \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}
\]
このことをまとめて書くと
\[
A(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v})
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
となる。
ここで
\[
P = (\vec{u}, \vec{v}) =
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-2 & -1 \\
\end{array}
\right)
\]
と置けば
\[
P^{-1} =
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
3 & 2 \\
\end{array}
\right)
\]
となる。
従って
\[\begin{align}
A P &= P
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \\
P^{-1} A P &=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\end{align}\]
ここで
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)^{n} =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & n \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
に注意すれば、
\[
(P^{-1} A P)^n = P^{-1} A^n P =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & n \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
から、
\[
A^n = P
\left(
\begin{array}{cc}
1 & n \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
P^{-1}
=
\left(
\begin{array}{cc}
6n + 1 & 4 n \\
-9 n & – 6 n + 1 \\
\end{array}
\right)
\]
が示される。
