行列の $n$乗の計算

固有ベクトルは
$$\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -9& –6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=0$$
から、
$$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$
と選べる。

ここで
$$(A–E{)}^2=0$$
なる式が成り立つことに注意すれば、任意のベクトル$\overrightarrow{v}$を取ってくれば
$$(A–E)\overrightarrow{v}$$
も固有値1の固有ベクトルである事が分かる。
例えば
$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$
と取れば、
$$\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -9& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$
となり、実際に固有値1の固有ベクトルであることが分かる。
$$\begin{gathered} (A–E)\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} \\ A\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \end{gathered}$$

このことをまとめて書くと
$$A(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$
となる。

ここで
$$P=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& -1\end{array}\right)$$
と置けば
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& 2\end{array}\right)$$
となる。

従って
$$\begin{array}{rl}AP& =P\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\\ P^{-1}AP& =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

ここで
$${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$$
に注意すれば、
$$(P^{-1}AP{)}^n=P^{-1}{A}^{n}P=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$$
から、
$$A^n=P\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6n+1& 4n\\ -9n& –6n+1\end{array}\right)$$
が示される。