次元定理｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$n$ 次元線形空間 $R^{n}$ から $m$ 次元線形空間 $R^{m}$ への線形写像 $f$ について、 $I m f, K e r f$ を
$\begin{aligned} I m f & = {f (x) | x \in R^{m}} \\ K e r f & = {x | x \in R^{n}, f (x) = O_{m}} （ここに O_{m} は R^{m} の零ベクトル） \end{aligned}$
と定義する。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $K e r f$ は $R^{n}$ の線形部分空間であり、 $I m f$ は $R^{m}$ の線形部分空間であることを示せ。

(2) 行列
$A = (\begin{array}{ccccc} 3 & - 3 & 2 & - 2 & 3 \\ 5 & 4 & 2 & 1 & - 2 \\ 7 & 2 & - 2 & - 1 & - 4 \\ - 2 & 5 & 0 & 3 & - 3 \end{array})$
の定める $R^{5}$ から $R^{4}$ への線形写像 $f$ において、 $I m f$ と $K e r f$ の次元をそれぞれ求めよ。

(1)

\forall \vec{x}, \vec{y} \in K e r f

とすると、

\forall α, β \in R

に対して

f (α \vec{x} + β \vec{y}) = α f (\vec{x}) + β f (\vec{y}) = α O_{m} + β O_{m} = O_{m}

となるので、

α \vec{x} + β \vec{y} \in K e r f

となる。
従って、

K e r f

は

R^{n}

の線形部分空間である。

$\forall \vec{u}, \vec{v} \in I m f$ とすると、 $\exists \vec{x}, \vec{y} \in R^{n}, f (x) = u, f (y) = v$ となる。
従って $\forall α, β \in R$ に対して
$α \vec{u} + β \vec{v} = α f (\vec{x}) + β f (\vec{y}) = f (α \vec{x} + β \vec{y})$
となるので、 $α \vec{u} + β \vec{v} \in I m f$ となる。
従って、 $I m f$ は $R^{m}$ の線形部分空間である。

(2) 行列 $A$ に対して、各行に対して基本変形を行う。
$\begin{aligned} (\begin{array}{ccccc} 3 & - 3 & 2 & - 2 & 3 \\ 5 & 4 & 2 & 1 & - 2 \\ 7 & 2 & - 2 & - 1 & - 4 \\ - 2 & 5 & 0 & 3 & - 3 \end{array}) & \to (\begin{array}{ccccc} 5 & 4 & 2 & 1 & - 2 \\ 13 & 5 & 6 & 0 & - 1 \\ 12 & 6 & 0 & 0 & - 6 \\ - 17 & - 7 & - 6 & 0 & 3 \end{array}) \\ \to (\begin{array}{ccccc} - 21 & - 6 & - 10 & 1 & 0 \\ 13 & 5 & 6 & 0 & - 1 \\ - 66 & - 24 & - 36 & 0 & 0 \\ 22 & 8 & 12 & 0 & 0 \end{array}) \\ \to (\begin{array}{ccccc} - 21 & - 6 & - 10 & 1 & 0 \\ 13 & 5 & 6 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 22 & 8 & 12 & 0 & 0 \end{array}) \\ \to (\begin{array}{ccccc} \frac{5}{2} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 11 & 4 & 6 & 0 & 0 \end{array}) \\ \to (\begin{array}{ccccc} \frac{5}{2} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{11}{6} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \end{array}) \\ \to (\begin{array}{ccccc} - 2 & - 1 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{11}{6} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{aligned}$
となり、行列 $A$ のrankは $3$ と求まる。