恒久式の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

3次正方行列 $A = (a_{j k})$ に対して、その恒久式（permanent）を
$\begin{aligned} p e r m (A) & = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} \\ + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{22} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \end{aligned}$
で定義する。いま $A$ のすべての成分が非負（ $a_{j k} \geq 0$ ）であり、かつ
$\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{3} a_{j k} & = 1 (k = 1, 2, 3) \\ \sum_{k = 1}^{3} a_{j k} & = 1 (j = 1, 2, 3) \\ a_{11} & = a_{33} \\ a_{13} & = a_{31} \end{aligned}$
が成立するとき、 $p e r m (A)$ の最小値と、それを与える行列 $A$ を求めよ。

与えられた条件をあからさまに書くと

\begin{aligned} a_{11} + a_{21} + a_{13} & = 1 \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} & = 1 \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} & = 1 \\ a_{11} + a_{12} + a_{13} & = 1 \\ a_{21} + a_{22} + a_{23} & = 1 \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} & = 1 \end{aligned}

となり、これらの条件と

\begin{aligned} a_{11} & = a_{33} \\ a_{13} & = a_{31} \end{aligned}

から

a_{12} = a_{12} = a_{23} = a_{32}

が得られる。

また、この時、与えられた条件のうちで独立なものは
$\begin{aligned} a_{11} + a_{12} + a_{13} & = 1 \\ 2 a_{12} + a_{22} & = 1 \end{aligned}$
となる。

$p e r m (A)$ を、これらの条件を使って具体的に書き下すと
$\begin{aligned} p e r m (A) & = a_{11}^{2} a_{22} + 2 a_{11} a_{12}^{2} + 2 a_{13} a_{12}^{2} + a_{13}^{2} a_{22} \\ = (a_{11}^{2} + a_{13}^{2}) a_{22} + 2 a_{12}^{2} (a_{11} + a_{13}) \end{aligned}$
となる。

ここで、 $a_{11} = x, a_{13} = y$ とおくと
$p e r m (A) = (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y - 1) + 2 (1 - x - y)^{2} (x + y)$
と表すことが出来る。この式は対称式である事に注意して、 $x + y = s, x y = t$ とおくと
$\begin{aligned} p e r m (A) & = (s^{2} - 2 t) (2 s - 1) + 2 (1 - s)^{2} s \\ = s^{2} (2 s - 1) + 2 s (1 - s)^{2} - 2 t (2 s - 1) \end{aligned}$
と書き直すことが出来る。

ここで、 $s$ は全ての $a_{j k}$ が非負であるという条件から
$\frac{1}{2} \leq s \leq 1$
となる。

従って、 $2 s - 1 \geq 0$ であるので、ある $s$ に固定して考えると、 $t$ が最大となる時に $p e r m (A)$ は最小となる。

ここで、相加相乗平均の関係から
$\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$
が言えるので、 $t$ が最大となるのは $x = y$ の時であり、その時に最大値
$x y = {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{s^{2}}{2}$
を取る事が分かる。

この時の $p e r m (A)$ の値を $f (s)$ と書く事にすると
$\begin{aligned} f (s) & = s^{2} (2 s - 1) + 2 s (1 - s)^{2} - 2 \frac{s^{2}}{4} (2 s - 1) \\ = 3 s^{3} - \frac{9}{2} s^{2} + 2 s \end{aligned}$
となる。 $f (s)$ を $s$ で微分して増減表を書いて、最小値を求めると
$\begin{aligned} f^{'} (s) & = 9 s^{2} - 9 s + 2 \\ = (3 s - 1) (3 s - 2) \end{aligned}$
$\begin{array}{cccccc} s & \frac{1}{2} & \dots & \frac{2}{3} & \dots & 1 \\ f^{'} (s) & - & 0 & + \\ f (s) & \frac{1}{4} & \frac{2}{9} & \frac{1}{2} \end{array}$
となり、 $s = \frac{2}{3}$ の時に最小値 $\frac{2}{9}$ を取る事が分かる。この時、 $x = y$ も成立しなければならない事に注意すれば、 $x = y = \frac{1}{3}$ が分かり、行列 $A$ の全ての成分が $\frac{1}{3}$ である事が分かる。