\(xyz\)空間内に3点\(O(0,0,0), A(1,-1,0), B(1,0,-1)\)がある。
3次正方行列
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\]
の表す一次変換を\(f\)とし、\(f\)による点\(A, B\)の像をそれぞれ点\(C, D\)とするとき、\(\triangle{OCD}\)の面積は\(\triangle{OAB}\)の面積の何倍になるか？
\[\begin{align}
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{array}
\right) & =
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
-1 \\
\end{array}
\right) \\
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1 \\
\end{array}
\right) & =
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right)
\end{align}\]
であるので
\[\begin{align}
\overrightarrow{OA} &= (1, -1, 0) \\
\overrightarrow{OB} &= (1, 0, -1) \\
\overrightarrow{OC} &= (2, -1, -1) \\
\overrightarrow{OD} &= (3, -1, 1)
\end{align}\]
と求まる。
\(\triangle{OAB}\)と\(\triangle{OCD}\)との面積の比は、\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{OB}\)の作る平行四辺形の面積と、\(\overrightarrow{OC}\)と\(\overrightarrow{OD}\)の作る平行四辺形の面積の比に等しいから、各々のベクトルの外積を計算して
\[\begin{align}
\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} &= (1, 1, 1) \\
\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OD} & = (-2, -5, 1)
\end{align}\]
となるので
\[
\frac{|\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{3}} = \sqrt{10}
\]
となり、\(\sqrt{10}\)倍となる。
