一次変換の性質｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

$x y z$ 空間内に3点 $O (0, 0, 0), A (1, - 1, 0), B (1, 0, - 1)$ がある。
3次正方行列
$(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array})$
の表す一次変換を $f$ とし、 $f$ による点 $A, B$ の像をそれぞれ点 $C, D$ とするとき、 $△ O C D$ の面積は $△ O A B$ の面積の何倍になるか？

実際に点

C, D

を求めると

\begin{aligned} (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) \\ (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \end{aligned}

であるので

\begin{aligned} \vec{O A} & = (1, - 1, 0) \\ \vec{O B} & = (1, 0, - 1) \\ \vec{O C} & = (2, - 1, - 1) \\ \vec{O D} & = (3, - 1, 1) \end{aligned}

と求まる。

$△ O A B$ と $△ O C D$ との面積の比は、 $\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ の作る平行四辺形の面積と、 $\vec{O C}$ と $\vec{O D}$ の作る平行四辺形の面積の比に等しいから、各々のベクトルの外積を計算して
$\begin{aligned} \vec{O A} \times \vec{O B} & = (1, 1, 1) \\ \vec{O C} \times \vec{O D} & = (- 2, - 5, 1) \end{aligned}$
となるので
$\frac{| \vec{O C} \times \vec{O D} |}{| \vec{O A} \times \vec{O B} |} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{3}} = \sqrt{10}$
となり、 $\sqrt{10}$ 倍となる。