ユニタリー行列によるエルミート行列の対角化｜大学・理系（大学数学/大学物理）【レポート代行・課題代行・宿題代行・家庭教師】

3次正方行列
$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 i & 2 \\ - 2 i & - 3 & 2 i \\ 2 & - 2 i & 1 \end{array})$
について、次の問いに答えよ。ただし、 $i$ は虚数単位である。

(1) $A$ の固有値を全て求めよ。

(2) 成分が複素数である $n$ 次正方行列 $M$ に対し、その転置行列の複素共役行列を $M^{*}$ とする。
ここで、 $M M^{*} = M^{*} M = I$ （ $I$ は $n$ 次単位行列）が成り立つ時、 $M$ をユニタリー行列という。(1) で求めた固有値をそれぞれ $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} (λ_{1} \leq λ_{2} \leq λ_{3})$ とするとき
$P^{- 1} A P = (\begin{array}{ccc} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{array})$
を満たすユニタリー行列 $P$ は存在するか？存在するならば、その行列 $P$ を求めよ。存在しないならば、そのことを証明せよ。

(1)

\begin{aligned} | A - λ I | & = \begin{array}{ccc} 1 - λ & 2 i & 2 \\ - 2 i & - 3 - λ & 2 i \\ 2 & - 2 i & 1 - λ \end{array} \\ = \begin{array}{ccc} 3 - λ & 0 & 3 - λ \\ - 2 i & - 3 - λ & 2 i \\ 2 & - 2 i & 1 - λ \end{array} \\ = \begin{array}{ccc} 2 - λ & 0 & 0 \\ - 2 i & - 3 - λ & 2 i \\ 2 & - 2 i & - 1 - λ \end{array} \\ = (3 - λ) {(- 3 - λ) (- 1 - λ) - 8} \\ = (3 - λ) (λ + 5) (λ - 1) \end{aligned}

従って、行列

A

の固有値は

λ_{1} = - 5, λ_{2} = 1, λ_{3} = 3

と求まる。

(2) 各固有値における固有ベクトルを求める。

$λ_{1} = - 5$ の時
$(\begin{array}{ccc} 6 & 2 i & 2 \\ - 2 i & 2 & 2 i \\ 2 & - 2 i & 6 \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
${\vec{u}}_{1} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2 i}{\sqrt{6}} \\ \frac{- 1}{\sqrt{6}} \end{matrix})$

同様にして、 $λ_{2} = 1$ の時
$(\begin{array}{ccc} 0 & 2 i & 2 \\ - 2 i & - 4 & 2 i \\ 2 & - 2 i & 0 \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
${\vec{u}}_{2} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{- i}{\sqrt{3}} \\ \frac{- 1}{\sqrt{3}} \end{matrix})$

同様にして、 $λ_{3} = 3$ の時
$(\begin{array}{ccc} - 2 & 2 i & 2 \\ - 2 i & - 6 & 2 i \\ 2 & - 2 i & - 2 \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
この解は、例えば次のベクトルを選ぶことが出来る
${\vec{u}}_{3} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})$

これらの結果をまとめて書くと
$A ({\vec{u}}_{1} {\vec{u}}_{2} {\vec{u}}_{3}) = ({\vec{u}}_{1} {\vec{u}}_{2} {\vec{u}}_{3}) (\begin{array}{ccc} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{array})$
となる。ここで
$P = ({\vec{u}}_{1} {\vec{u}}_{2} {\vec{u}}_{3})$
とおけば、
$P^{†} P = P P^{†} = I$
が示されるので、行列 $A$ はユニタリー行列 $P$ によって
$P^{- 1} A P = (\begin{array}{ccc} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{array})$
となる事が分かる。