$S_3$の部分群

$S_3$ の位数は $3! = 6$ であるので、部分群として許される位数は、$1, 2, 3, 6$ である。
この中で、位数が1であるものは、自明な部分群 $\{e\}$ であり、位数が6であるものは、$G$ そのものである。
また、この2つの部分群は明らかに $G$ の正規部分群である。

先ず、位数が2の部分群を求める。位数2の部分群に含まれる元 $g$ は $g^2 = e$ を満たさなくてはならない。
従って、このような条件を満たす $G$ の部分群は
\begin{align}
H_{21} &= \{e, (1\ 2)\} \\
H_{22} &= \{e, (2\ 3)\} \\
H_{23} &= \{e, (3\ 1)\}
\end{align}
の3つである。

次に、位数が3の部分群を求める。位数3の部分群に含まれる元 $g$ は $g^3 = e$ を満たさなくてはならない。
従って、このような条件を満たす $G$ の部分群は
\begin{align}
H_{31} &= \{e, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}
\end{align}
の1つである。

この中で、正規部分群であるものを求める。
先の問題より、$H_{31}$ は正規部分群であることを既に見た。

$H_{21}$ については
\begin{align}
(2\ 3) H_{21} &= \{(2\ 3), (1\ 3\ 2)\} \\
H_{21} (2\ 3) &= \{(2\ 3), (1\ 2\ 3)\}
\end{align}
となるために、正規部分群とはならない。
同様に
\begin{align}
(1\ 2) H_{22} &= \{(1\ 2), (1\ 2\ 3)\} \\
H_{22} (1\ 2) &= \{(1\ 2), (1\ 3\ 2)\}\\
(2\ 3) H_{23} &= \{(2\ 3), (1\ 2\ 3)\} \\
H_{23} (2\ 3) &= \{(2\ 3), (1\ 3\ 2)\}
\end{align}
より、$H_{22}, H_{23}$ も $G$ の正規部分群とはならない。

以上より、$S_3$ の部分群のうちで正規部分群となるのは、$\{e\}, H_{31}, G$ である。