$S_3$の部分群

$S_3$ の位数は $3!=6$ であるので、部分群として許される位数は、$1,2,3,6$ である。
この中で、位数が1であるものは、自明な部分群 $\{e\}$ であり、位数が6であるものは、$G$ そのものである。
また、この2つの部分群は明らかに $G$ の正規部分群である。

先ず、位数が2の部分群を求める。位数2の部分群に含まれる元 $g$ は $g^2=e$ を満たさなくてはならない。
従って、このような条件を満たす $G$ の部分群は
$$\begin{array}{rl}{H}_{21}& =\{e,(12)\}\\ H_{22}& =\{e,(23)\}\\ H_{23}& =\{e,(31)\}\end{array}$$
の3つである。

次に、位数が3の部分群を求める。位数3の部分群に含まれる元 $g$ は $g^3=e$ を満たさなくてはならない。
従って、このような条件を満たす $G$ の部分群は
$$\begin{array}{rl}{H}_{31}& =\{e,(123),(132)\}\end{array}$$
の1つである。

この中で、正規部分群であるものを求める。
先の問題より、$H_{31}$ は正規部分群であることを既に見た。

$H_{21}$ については
$$\begin{array}{rl}(23)H_{21}& =\{(23),(132)\}\\ H_{21}(23)& =\{(23),(123)\}\end{array}$$
となるために、正規部分群とはならない。
同様に
$$\begin{array}{rl}(12)H_{22}& =\{(12),(123)\}\\ H_{22}(12)& =\{(12),(132)\}\\ (23)H_{23}& =\{(23),(123)\}\\ H_{23}(23)& =\{(23),(132)\}\end{array}$$
より、$H_{22},H_{23}$ も $G$ の正規部分群とはならない。

以上より、$S_3$ の部分群のうちで正規部分群となるのは、$\{e\},H_{31},G$ である。